Масло в U-образной трубке

До открывания крана гидростатическое давление по разные его стороны было различным. В левой части горизонтальной трубки давление было равно \(p_1 = \dfrac{\rho_{\text{в}}gH}{2}\), а в правой \(p_2 = \rho_{\text{в}}gH - \dfrac{\rho_{\text{м}}gH}{2} = \dfrac{\rho_{\text{в}}gH}{2}\left(2 - \dfrac{\rho_{\text{м}}}{\rho_{\text{в}}}\right)\). Так как \(\rho_{\text{в}} > \rho_{\text{м}}\), то \(p_2 > p_1\). Это означает, что после открывания крана часть масла перетечёт по горизонтальной трубке из правого колена в левое и разместится в нём над слоем воды, образовав столбик некоторой высоты \(x\). (Заметим, что, так как трубка тонкая, то можно считать, что после установления по разные стороны от крана одинаковых давлений в горизонтальной трубке будет находиться только масло.)

После перетекания масла уровень ртути в правом колене поднимется на некоторую величину \(y\), а в левом колене он опустится на такую же величину. Уровень воды над левым концом горизонтальной трубки понизится на такую же величину \(y\), как и уровень ртути в левом колене. В свою очередь, столбик масла в правом колене поднимется на величину \(y\) из-за поднятия уровня ртути в правом колене и одновременно опустится на величину \(x\) из-за перетекания части масла в левое колено. В конце концов, новое состояние равновесия будет таким, что по разные стороны от крана в горизонтальной трубке давления будут одинаковыми. Это означает, что \[\dfrac{\rho_{\text{в}}gH}{2} + \rho_{\text{м}}gx - \rho_{\text{в}}gy = \rho_{\text{в}}gH - \dfrac{\rho_{\text{м}}gH}{2} + \rho_{\text{м}}gy - \rho_{\text{м}}gx.\] Кроме того, ясно, что давление в нижней части U-образной трубки должно остаться таким же, каким оно было до открывания крана, так как сила давления на дно постоянна — она равна суммарному весу всех жидкостей, заполняющих трубку. Это, в частности, означает, что уменьшение давления в левом колене из-за вытекания из него ртути компенсируется давлением, которое создаётся перетёкшим в левое колено маслом: \(\rho_{\text{р}}gy = \rho_{\text{м}}gx\).

Решая полученную систему уравнений, получаем: \[x = \dfrac{\rho_{\text{р}}(\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{м}})H}{2\rho_{\text{м}}(2\rho_{\text{р}} - \rho_{\text{в}} - \rho_{\text{м}})}.\] Отсюда искомое понижение уровня масла в правом колене: \[h = x - y = x\left(1 - \dfrac{\rho_{\text{м}}}{\rho_{\text{р}}}\right) = \dfrac{\rho_{\text{р}} - \rho_{\text{м}}}{2\rho_{\text{р}} - (\rho_{\text{в}} + \rho_{\text{м}})}\cdot\dfrac{\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{м}}}{\rho_{\text{м}}}\cdot\dfrac{H}{2}.\] Заметим, что, поскольку \(\rho_{\text{р}} \gg \rho_{\text{м}}\) и \(\rho_{\text{р}} \gg \rho_{\text{в}}\), то полученный ответ можно представить в приближённом виде: \(h \approx ((\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{м}})/\rho_{\text{м}})\cdot(H/4)\).