Бесконечная цепь ламп

При подаче напряжения на цепь из лампочек (рис. 3.56.1) в первую очередь будет перегорать лампочка 1. Действительно, текущий через неё ток \(I_1\) равен сумме токов \(I_2\) и \(I_3\), текущих через лампочки 2 и 3, и поэтому является наибольшим из всех токов в этой цепи.

Пусть к клеммам приложено максимально возможное напряжение, при котором лампочка 1 ещё не перегорела. Тогда, как следует из приведённой в условии вольт-амперной характеристики, напряжение на этой лампочке равно \(U_1 = 3\) В, а текущий через неё ток составляет \(I_1 = 0{,}4\) А. Следовательно, наименьший из токов \(I_2\) и \(I_3\) меньше 0,2 А. Заметим, что поскольку \(U_2 = U_3 + U_4\), то \(U_2 > U_3\), и поэтому \(I_2 > I_3\). Следовательно, \(I_3 < 0{,}2\) А. Рассуждая аналогично, можно показать, что токи, текущие через все остальные лампочки с номерами, большими чем 3, также удовлетворяют этому условию.

Из приведённой в условии вольт-амперной характеристики следует, что при \(I < 0{,}2\) А лампочку можно заменить на резистор с постоянным сопротивлением \(R \approx 5\) Ом. Таким образом, рассматриваемая цепь из лампочек может быть заменена на эквивалентную схему, показанную на рисунке 3.56.2. Найдём сопротивление \(R_0\) бесконечной цепочки, обведённой пунктирной рамкой. Эта цепочка состоит из одинаковых резисторов с сопротивлениями \(R\), и её сопротивление может быть найдено при помощи способа, который использовался для вычисления сопротивления первой вспомогательной цепочки в решении задачи 3.52. Для сопротивления \(R_0\) можно записать: \(R_0 = R + \dfrac{RR_0}{R + R_0}\), откуда \(R_0 = 0{,}5(\sqrt{5} + 1)R \approx 8\) Ом.

Вернёмся к исходной цепочке из лампочек. Напряжение на лампочке 2 равно \(U_2 = (I_1 - I_2)R_0\), откуда текущий через неё ток \(I_2 = I_1 - \dfrac{U_2}{R_0}\). Значит, для того, чтобы определить величину \(U_2\), нужно найти точку пересечения графика \[I = I_1 - \dfrac{1}{R_0}U = 0{,}4 - 0{,}125U\] и вольт-амперной характеристики, приведённой в условии. Выполнив построение (см. рис. 3.56.3), получаем \(U_2 \approx 1{,}2\) В.

Следовательно, искомое напряжение, при прикладывании которого к клеммам цепи ни одна из лампочек не перегорит, равно \(U = U_1 + U_2 \approx 4{,}2\) В.