Лампочка на длинных проводах

Сопротивление проводов пропорционально их длине, а напряжение источника одно и то же. Для каждого из двух опытов по графику найдите напряжение на лампочке при данном токе и запишите, чему равно напряжение источника.

При \(l_3=40\) м ток \(I_3\approx0{,}085\) А; при подключении лампочки прямо к источнику \(I\approx0{,}22\) А (напряжение источника \(U\approx2{,}2\) В, сопротивление провода \(\approx0{,}5\) Ом на метр длины).

Что происходит. Лампочка и провода соединены последовательно с источником, поэтому ток один, а напряжения складываются. Лампочка нелинейна: её напряжение при данном токе нужно брать с графика. Два опыта дают два уравнения для двух неизвестных — напряжения источника \(U\) и сопротивления единицы длины проводов \(\lambda\); после этого токи при любой длине находятся построением на том же графике.

Обозначения. \(U\) — напряжение источника (внутренним сопротивлением пренебрегаем); \(\lambda\) — сопротивление проводов на единицу их длины \(l\) (сопротивление проводов \(\lambda l\)); \(U_{\text{л}}(I)\) — напряжение на лампочке при токе \(I\), снимается с рис. 2.

1. Напряжения на лампочке в двух опытах. По графику (рис. 2) при токе \(0{,}17\) А напряжение на лампочке \(U_{\text{л}1}\approx1{,}35\) В, при \(0{,}13\) А — \(U_{\text{л}2}\approx0{,}90\) В.

2. Уравнения. Закон Ома для участков и правило сложения напряжений при последовательном соединении: напряжение источника равно сумме напряжений на проводах и на лампочке. Сопротивление проводов \(\lambda l\) пропорционально длине, так как материал и сечение одни: \[U=U_{\text{л}1}+I_1\lambda l_1,\qquad U=U_{\text{л}2}+I_2\lambda l_2 .\] Вычитая одно уравнение из другого, получаем \(U_{\text{л}1}-U_{\text{л}2}=\lambda(I_2l_2-I_1l_1)\): \[\lambda=\frac{1{,}35-0{,}90}{0{,}13\cdot20-0{,}17\cdot10}=\frac{0{,}45}{0{,}9}=0{,}5\ \text{Ом/м},\qquad U=1{,}35+0{,}17\cdot10\cdot0{,}5=2{,}2\ \text{В}.\]

3. Ток при \(l_3=40\) м. Сопротивление проводов \(R_3=\lambda l_3=20\) Ом. Закон Ома для всей цепи: \(U=U_{\text{л}}(I_3)+I_3R_3\), то есть \(U_{\text{л}}=U-R_3I_3=2{,}2-20I_3\). На графике это прямая через точку \((U;0)=(2{,}2\text{ В};0)\) и точку \((0;0{,}11\text{ А})\); её пересечение с вольт-амперной характеристикой лампочки и есть рабочая точка (рис.). Она лежит при \(U_{\text{л}}\approx0{,}51\) В, \(I_3\approx0{,}085\) А: проверка \(0{,}51+20\cdot0{,}085=2{,}2\).

4. Лампочка прямо на источнике. Провода отсутствуют, напряжение на лампочке \(U=2{,}2\) В, ток по графику \(I\approx0{,}22\) А.

Обратите внимание. Нагрузочная прямая строится от точки на оси напряжений \(U\), а не от начала координат, и её наклон определяется только сопротивлением проводов: чем длиннее провода, тем круче она идёт вниз (прямые для \(10\), \(20\) и \(40\) м на рисунке проходят через точки опытов \(0{,}17\) и \(0{,}13\) А).

Ответ. \(I_3\approx0{,}085\) А; с лампочкой без проводов \(I\approx0{,}22\) А.

Проверка. Размерность: \([\lambda]=\text{В}/(\text{А}\cdot\text{м})=\text{Ом/м}\). Обе опытные точки лежат на построенных прямых (\(1{,}35+1{,}7\cdot0{,}5=2{,}2\) и \(0{,}90+2{,}6\cdot0{,}5=2{,}2\)). Ток при \(40\) м получился меньше, чем при \(20\) м (\(0{,}13\) А), а без проводов — больше, чем при \(10\) м (\(0{,}17\) А): чем длиннее провода, тем меньше ток, как и должно быть. Числа зависят от снятия значений с графика с точностью в несколько процентов.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.