Заяц и волк

Волк всегда на расстоянии \(R\) и от центра, и от зайца, то есть на серединном перпендикуляре к отрезку «центр — заяц». Получите его скорость и ускорение как функции угла и сравните ускорение с максимальным, которое может дать трение.

Волк добежит до точки, отстоящей по дуге от начального положения на угол \(\varphi\), где \(\cos^3\varphi=\dfrac{v_0^2}{4R\mu g}\): \(\varphi\approx54^\circ\) (дуга \(\approx9{,}4\) м; скорость волка в этот момент \(\approx1{,}7\) м/с).

Что происходит. Заяц убегает по прямой от центра, а волк должен всё время быть от него на расстоянии \(R\). Для этого волк должен находиться в точке окружности, равноудалённой на \(R\) от центра \(O\) и от зайца, а такая точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку центр — заяц. Заяц движется равномерно, но проекция волка на направление движения зайца — вдвое медленнее, и волку приходится бежать по окружности всё быстрее и быстрее. Единственная сила, разгоняющая и поворачивающая волка, — трение льда; её максимум \(\mu mg\) ограничивает ускорение \(\mu g\), и волк отстанет в тот момент, когда нужное ускорение сравняется с \(\mu g\).

Обозначения. \(O\) — центр окружности, \(Z\) — заяц, \(B\) — волк; \(\varphi\) — угол между направлением на волка из \(O\) и направлением на его начальное положение \(B_0\) (перпендикулярным пути зайца); \(h=v_0t\) — расстояние, пройденное зайцем; \(v\), \(a_\tau\), \(a_n\) — скорость, тангенциальное и нормальное ускорения волка.

1. Положение волка. Треугольник \(OBZ\) равнобедренный (\(OB=BZ=R\)), поэтому проекция \(B\) на путь зайца делит отрезок \(OZ\) пополам: координата волка вдоль пути зайца равна \(h/2=v_0t/2\). С другой стороны, эта координата равна \(R\sin\varphi\): \[R\sin\varphi=\frac{v_0t}{2}.\]

2. Скорость волка. Уравнение шага 1 верно в любой момент, поэтому для малого промежутка времени \(dt\) получаем \(R\cos\varphi\,d\varphi=\dfrac{v_0}{2}\,dt\). Скорость волка вдоль окружности \(v=R\,\dfrac{d\varphi}{dt}\): \[v=\frac{v_0}{2\cos\varphi}.\] Она растёт от \(v_0/2\) при \(\varphi=0\) и неограниченно при \(\varphi\to90^\circ\).

3. Ускорение волка. Нормальное (центростремительное) ускорение \(a_n=\dfrac{v^2}{R}=\dfrac{v_0^2}{4R\cos^2\varphi}\). Тангенциальное \(a_\tau=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{v_0\sin\varphi}{2\cos^2\varphi}\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}=\dfrac{v_0^2\sin\varphi}{4R\cos^3\varphi}\). Отношение \(a_\tau/a_n=\operatorname{tg}\varphi\), поэтому полное ускорение \[a=\sqrt{a_\tau^2+a_n^2}=\frac{a_n}{\cos\varphi}=\frac{v_0^2}{4R\cos^3\varphi}.\]

4. Предел по трению. Второй закон Ньютона для волка в горизонтальной плоскости: единственная горизонтальная сила — сила трения, и она не больше \(\mu mg\) (волк не проскальзывает, пока \(ma\le\mu mg\)). Значит, движение возможно, пока \[\frac{v_0^2}{4R\cos^3\varphi}\le\mu g\quad\Longleftrightarrow\quad\cos^3\varphi\ge\frac{v_0^2}{4R\mu g}=\frac{4}{4\cdot10\cdot0{,}05\cdot9{,}8}\approx0{,}204 .\] Предельное значение: \(\cos\varphi=0{,}204^{1/3}\approx0{,}589\), \(\varphi\approx54^\circ\). График показывает, как ускорение (сначала \(0{,}1\) м/с\(^2\)) растёт и пересекает \(\mu g=0{,}49\) м/с\(^2\).

5. Точка. Волк добежит по дуге на угол \(\varphi\approx54^\circ\) от начальной точки в сторону, куда побежал заяц (длина дуги \(R\varphi\approx10\cdot0{,}94=9{,}4\) м); его координаты \(x=R\sin\varphi\approx8{,}1\) м вдоль пути зайца и \(y=R\cos\varphi\approx5{,}9\) м по направлению от центра к начальному положению волка. В этот момент скорость волка \(v=v_0/(2\cos\varphi)\approx1{,}7\) м/с.

Обратите внимание. Ограничивает не скорость, а полное ускорение: нужно учитывать и поворот (центростремительное), и разгон (тангенциальное). Если взять только \(a_n\le\mu g\), получится \(\cos^2\varphi=v_0^2/(4R\mu g)\) и \(\varphi\approx63^\circ\) — ответ завышен, потому что на разгон волка трение тоже тратится.

Ответ. \(\cos^3\varphi=\dfrac{v_0^2}{4R\mu g}\), \(\varphi\approx54^\circ\) от начальной точки (дуга \(\approx9{,}4\) м).

Проверка. Размерность: \(v_0^2/(R\mu g)\) безразмерно. Предел \(\mu\to\infty\): \(\cos\varphi\to0\), \(\varphi\to90^\circ\) — без ограничения по трению ничто не останавливало бы волка до \(\varphi=90^\circ\) (там его скорость уже неограниченна). Подстановка: при \(\varphi=54^\circ\) получаем \(a=0{,}1/0{,}204=0{,}49\) м/с\(^2=\mu g\). Результат устойчив к выбору \(g\): при \(g=10\) м/с\(^2\) \(\cos^3\varphi=0{,}2\) и \(\varphi\approx54{,}2^\circ\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.