Метки на диске проигрывателя

Метки кажутся неподвижными, если между двумя вспышками диск успевает повернуться ровно на целое число промежутков между метками. Что увидит глаз, если диск «не добежал» до такого поворота совсем чуть-чуть?

1) число меток кратно 180, наименьшее — \(N=180\); 2) диск остановится через \(80\text{ с}\) после выключения двигателя; 3) метки побегут в другую сторону через \(40\text{ с}\) после начала торможения.

Что происходит. Лампа вспыхивает через равные промежутки \(T=0{,}01\text{ с}\), и глаз видит диск только в эти моменты. Метки одинаковые, поэтому, если между вспышками диск повернулся ровно на целое число промежутков между метками, каждая следующая картинка неотличима от предыдущей: метки «стоят». Если диск поворачивается чуть меньше целого числа промежутков, картина каждый раз оказывается немного сдвинутой назад, и мы видим бег меток, которого на самом деле нет. Главная идея задачи: считать, на какую долю промежутка между метками сдвигается картина за один период вспышек.

Обозначения. \(N\) — число меток, расположенных на диске равномерно. \(\nu\) — частота вращения, \(f=N\nu\) — число меток, которые за секунду проходят мимо точки наблюдения. \(s=fT\) — на сколько промежутков между метками поворачивается диск за один период вспышек. Номинальная частота \(\nu_0=33\frac13\text{ об/мин}=\dfrac{5}{9}\text{ об/с}\).

Пункт 1. Число меток.

1. За период вспышки диск поворачивается на \(\nu_0T=\dfrac59\cdot0{,}01=\dfrac1{180}\) оборота. Один промежуток между метками — это \(1/N\) оборота. Значит, за период вспышки диск поворачивается на \(s_0=N\nu_0T=\dfrac{N}{180}\) промежутков.

2. Метки неподвижны, когда \(s_0\) целое, то есть \(N=180k\), где \(k=1,2,\dots\) Меньше 180 меток быть не может: тогда за вспышку диск проходил бы долю промежутка. Возьмём наименьшее число \(N=180\): тогда \(s_0=1\) — за период диск ровно на один промежуток, и частота прохождения меток \(f_0=N\nu_0=100\text{ с}^{-1}\) равна частоте вспышек.

Пункт 2. Торможение. Нарисуем, что видит глаз (чёрные точки — метки при одной вспышке, кружки — те же метки при следующей).

3. Закон торможения. Силы сухого трения постоянны, поэтому постоянны момент сил и угловое ускорение: частота убывает линейно, \(\nu(t)=\nu_0-\varepsilon t\). Отсюда \[f(t)=N\nu(t)=100-\beta t,\qquad \beta=N\varepsilon ,\] а \(s(t)=f(t)T=1-\dfrac{\beta t}{100}\). Диск «не добегает» до целого числа промежутков на \(\delta=\dfrac{\beta t}{100}\) промежутка за вспышку.

4. Видимая скорость меток. Пока \(\delta\ll1\), картина за каждую вспышку сдвигается назад на \(\delta\) промежутков. Вспышек 100 в секунду, поэтому видимая скорость бега (в метках в секунду) \[v=100\,\delta=\beta t .\] Рассмотрим малый промежуток \(dt\): мимо точки наблюдения пробегает \(dn=\beta t\,dt\) меток. Просуммируем от начала торможения до момента \(t\): \[n(t)=\int_0^t\beta t'\,dt'=\frac{\beta t^2}{2}.\] Обратите внимание: «пробегают» видимые метки, а не реальные: реально мимо точки в первую секунду проходят около 100 меток. Формула верна, пока \(\delta\ll1\); за первые 4 с \(\delta\le0{,}05\), так что условие выполнено.

5. Что известно. За \(t=4\text{ с}\) пробегает \(n=10\) меток: \[\beta=\frac{2n}{t^2}=\frac{2\cdot10}{16}=1{,}25\text{ с}^{-2}.\]

6. Остановка. Диск остановится, когда \(f=0\): \(100-\beta t_{\text{ост}}=0\), \[t_{\text{ост}}=\frac{100}{\beta}=80\text{ с}.\]

7. Смена направления. Метки одинаковые, поэтому глаз сопоставляет метку новой картины с ближайшей меткой прежней, то есть выбирает наименьший сдвиг. Пока \(s>\tfrac12\), наименьший сдвиг — назад на \(1-s\) промежутков: метки бегут назад. Когда \(s\) становится меньше \(\tfrac12\), наименьший сдвиг — вперёд на \(s\): метки бегут вперёд, по вращению диска. Граница — \(s=\tfrac12\): \[1-\frac{\beta t_1}{100}=\frac12\quad\Rightarrow\quad t_1=\frac{50}{\beta}=40\text{ с}.\]

Видимая скорость \(v(t)\) (в метках в секунду): \(v=-\beta t\) при \(t<t_1\) (назад) и \(v=100-\beta t\) при \(t_1<t<t_{\text{ост}}\) (вперёд); в момент \(t_1\) она скачком меняет знак.

Проверка. Размерность: \([\beta]=\text{с}^{-2}\) — метки в секунду за секунду, из формулы \(n=\beta t^2/2\) получаются метки. Второй способ для \(t_{\text{ост}}\): диск теряет за секунду \(\beta=1{,}25\) метки в секунду от частоты \(f_0=100\) меток в секунду, значит, остановка через \(100/1{,}25=80\text{ с}\). Смысл ответа: торможение мягкое — диск стоит через 80 с, и за первые 4 с он теряет всего \(5\) меток в секунду из ста; метки при этом поначалу почти стоят и очень медленно бегут назад.

Замечание. Для \(N=180k\) метки бегут так же (\(\beta=N\varepsilon\) задано условием), смена направления — те же \(40\text{ с}\), а остановка наступает через \(80k\text{ с}\) (частота \(f_0=100k\text{ с}^{-1}\)); для наименьшего числа меток \(k=1\).

Ответ. Число меток кратно 180, наименьшее — 180. Диск остановится через \(t_{\text{ост}}=100/\beta=80\text{ с}\), метки побегут в другую сторону через \(t_1=50/\beta=40\text{ с}\) после выключения двигателя.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.