Токоограничивающий резистор

Приборы неидеальны: у вольтметра конечное сопротивление, у миллиамперметра — не нулевое. Четыре неизвестных (ЭДС, сопротивление резистора, сопротивления приборов) и четыре показания.

\(R\approx2{,}1\cdot10^2\text{ Ом}\) (ещё: \(\mathcal E\approx6{,}2\text{ В}\), сопротивление вольтметра \(\approx512\text{ Ом}\), миллиамперметра — \(50\text{ Ом}\)).

Что происходит. Аккумулятор мощный, его собственным внутренним сопротивлением можно пренебречь, и источником для приборов служит ЭДС \(\mathcal E\) с резистором \(R\) последовательно. Но приборы тоже не идеальны: у вольтметра сопротивление \(R_V\), у миллиамперметра — \(R_A\). Неизвестных четыре: \(\mathcal E\), \(R\), \(R_V\), \(R_A\), а показаний тоже четыре. Главная идея: в каждом опыте записываем закон Ома для всей цепи и для того участка, на котором стоит прибор.

Обозначения. Показания приборов — напряжение на вольтметре и ток через миллиамперметр.

1. Опыт 1: приборы последовательно. Через оба прибора идёт один и тот же ток \(I_1=8\text{ мА}\), вольтметр показывает напряжение именно на себе. Закон Ома для участка с вольтметром: \[R_V=\frac{U_1}{I_1}=\frac{4{,}1}{8\cdot10^{-3}}=512{,}5\text{ Ом}.\] Закон Ома для всей цепи (резистор, миллиамперметр и вольтметр последовательно): \[\mathcal E=I_1\,(R+R_A+R_V).\]

2. Опыт 2: приборы параллельно. Напряжение на обоих приборах одно и то же и равно показанию вольтметра \(U_2=1{,}1\text{ В}\). Миллиамперметр показывает ток только через себя: закон Ома для участка с миллиамперметром \[R_A=\frac{U_2}{I_2}=\frac{1{,}1}{22\cdot10^{-3}}=50\text{ Ом}.\] Через вольтметр идёт ток \(I_V=\dfrac{U_2}{R_V}=2{,}15\text{ мА}\), и полный ток через резистор \(I=I_2+I_V=24{,}15\text{ мА}\). Закон Ома для всей цепи: напряжение источника расходуется на резистор и на приборы, \[\mathcal E=U_2+IR .\] Обратите внимание: ток в источнике — не показание миллиамперметра, а сумма токов двух параллельных приборов.

3. Сборка. Неизвестных осталось два: \(\mathcal E\) и \(R\). Приравняем ЭДС из двух опытов: \(I_1(R+R_A+R_V)=U_2+IR\). Отсюда \[R=\frac{I_1(R_A+R_V)-U_2}{I-I_1}=\frac{8\cdot10^{-3}\cdot562{,}5-1{,}1}{(24{,}15-8)\cdot10^{-3}}=\frac{3{,}4}{16{,}15\cdot10^{-3}}\approx210{,}6\text{ Ом}.\] Тогда \(\mathcal E=I_1(R+R_A+R_V)=8\cdot10^{-3}\cdot773{,}1\approx6{,}2\text{ В}\).

Проверка. Размерность: В/А = Ом. Второй способ — нагрузочная прямая: на зажимах источника (аккумулятор с резистором) напряжение \(U=\mathcal E-IR\). В опыте 1 оно равно \(U=I_1(R_A+R_V)=4{,}5\text{ В}\) при токе \(8\text{ мА}\), в опыте 2 — \(U_2=1{,}1\text{ В}\) при токе \(24{,}15\text{ мА}\). Через две точки проходит прямая с наклоном \(R=\dfrac{4{,}5-1{,}1}{(24{,}15-8)\cdot10^{-3}}\approx211\text{ Ом}\) и пересечением \(\mathcal E\approx6{,}2\text{ В}\) — как и в пункте 3. Ток короткого замыкания \(\mathcal E/R\approx29\text{ мА}\) ограничен резистором: без него мощный аккумулятор дал бы очень большой ток и сжёг бы приборы, потому и «хорошо, что мы догадались ввести резистор».

Ответ. \(R=\dfrac{I_1(R_A+R_V)-U_2}{I_2+U_2/R_V-I_1}\), где \(R_V=\dfrac{U_1}{I_1}\), \(R_A=\dfrac{U_2}{I_2}\); численно \(R\approx2{,}1\cdot10^2\text{ Ом}\) (сопротивление самого аккумулятора считали пренебрежимо малым).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.