Пятьдесят приборов

Вольтметр — это резистор, и ток через него течёт. Ток через первый вольтметр найдите из показаний двух соседних амперметров, затем — сопротивление вольтметра. Подумайте, куда в итоге уходит весь ток, прошедший через первый амперметр.

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{50}U_k=\dfrac{U_1I_1}{I_1-I_2}=304\text{ В}\).

Что происходит. Вольтметр — это резистор большого сопротивления: напряжение на нём равно току через него, умноженному на это сопротивление. Все вольтметры одинаковые, поэтому сумма их показаний равна сопротивлению вольтметра, умноженному на сумму токов через них. Сумма этих токов — весь ток, вышедший из батареи, а ток через первый амперметр и есть весь ток. Сопротивление вольтметра найдём из первого узла. Сопротивления амперметров (они разные) нигде не понадобятся.

Обозначения. \(I_k\) — ток через \(k\)-й амперметр (его показание), \(i_k\) — ток через \(k\)-й вольтметр, \(U_k\) — его показание, \(R_V\) — сопротивление вольтметра. Ток идёт по верхнему проводу слева направо; \(k\)-й вольтметр подключён к узлу сразу за \(k\)-м амперметром.

1. Закон Ома для вольтметра. Прибор — резистор, поэтому для любого из них \[U_k=R_V\,i_k ,\] и \(R_V\) одно и то же у всех пятидесяти.

2. Закон сохранения заряда в узле. Заряд в узле не накапливается: ток \(I_k\), пришедший через \(k\)-й амперметр, делится на ток \(i_k\) в вольтметр и ток \(I_{k+1}\) в следующий амперметр: \[I_k=i_k+I_{k+1}\quad\Rightarrow\quad i_k=I_k-I_{k+1}.\] Для первого узла \(i_1=I_1-I_2=9{,}5-9{,}2=0{,}3\text{ мА}\).

3. Сопротивление вольтметра. По закону Ома из пункта 1 для первого вольтметра \[R_V=\frac{U_1}{i_1}=\frac{9{,}6\text{ В}}{0{,}3\text{ мА}}=32\text{ кОм}.\]

4. Сумма токов вольтметров. Последний амперметр соединён только с \(V_{50}\), поэтому \(i_{50}=I_{50}\). Сложим все 50 равенств: \(i_k=I_k-I_{k+1}\) при \(k=1,\dots,49\) и \(i_{50}=I_{50}\). Справа каждый ток, кроме \(I_1\), входит один раз с плюсом и один раз с минусом, поэтому \[\sum_{k=1}^{50}i_k=I_1 .\] Физический смысл: весь ток, прошедший через первый амперметр, в конце концов уходит через вольтметры.

5. Сумма показаний. Суммируем равенства \(U_k=R_Vi_k\): \[\sum_{k=1}^{50}U_k=R_V\sum_{k=1}^{50}i_k=R_VI_1=\frac{U_1I_1}{I_1-I_2}=32\text{ кОм}\cdot 9{,}5\text{ мА}=304\text{ В}.\] Обратите внимание: показания вольтметров разные. Напряжение между верхним и нижним проводами падает вдоль цепи на амперметрах, и ток через дальние вольтметры меньше. Поэтому сумму нельзя считать как \(50\,U_1=480\text{ В}\).

Проверка. Размерность: \(\text{В}\cdot\text{А}/\text{А}=\text{В}\). Предельный случай: если бы амперметры были идеальными (нулевое сопротивление), все вольтметры стояли бы под одним напряжением, их токи были бы равны, и \(I_1-I_2=I_1/50\); формула дала бы \(50\,U_1\). У нас \(I_1-I_2=0{,}3\text{ мА}\) больше, чем \(I_1/50=0{,}19\text{ мА}\): первый вольтметр берёт больше среднего, показания убывают, и сумма \(304\text{ В}\) меньше \(480\text{ В}\), как и должно быть. Среднее показание \(304/50\approx6{,}1\text{ В}\).

Ответ: \(\sum U_k=\dfrac{U_1I_1}{I_1-I_2}=304\text{ В}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.