Транзистор на пластине

Мощность, которую отдаёт воздуху малый кусочек пластины, пропорциональна его площади и его перегреву над воздухом. Мощность всей пластины — это сумма таких вкладов. Равномерный нагрев в условии нужен, чтобы найти коэффициент пропорциональности.

\(P\approx3{,}7\text{ Вт}\) (оценка по рисунку: \(3{,}4\)–\(4\text{ Вт}\)).

Что происходит. Транзистор нагревает пластину, пластина отдаёт тепло воздуху всей поверхностью, и в установившемся режиме отдаваемая мощность равна мощности транзистора. Каждый кусочек пластины отдаёт тем больше, чем он горячее воздуха. Поэтому мощность всей пластины равна произведению «коэффициент теплоотдачи на площадь» и среднего по площади перегрева. Коэффициент находим из равномерного нагрева, средний перегрев — по рисунку, разбив пластину изотермами на области.

Обозначения. \(S\) — площадь пластины, \(k\) — мощность теплоотдачи с единицы площади на один градус перегрева (одинаковая в обоих опытах: пластина та же, обдув тот же). \(T_{\text{в}}\) — температура воздуха, \(T\) — температура точки пластины.

1. Мощность с малого кусочка. По условию теплоотдача пропорциональна разности температур пластины и воздуха. Кусочек площадью \(dS\) с температурой \(T\) отдаёт \[dP=k\,(T-T_{\text{в}})\,dS .\] Просуммируем по всей пластине: \[P=k\int(T-T_{\text{в}})\,dS=kS\,\bigl(\langle T\rangle-T_{\text{в}}\bigr),\] где \(\langle T\rangle\) — температура, усреднённая по площади.

2. Коэффициент из равномерного нагрева. Если вся пластина нагрета до \(T_0=70\) °C, а воздух имеет \(20\) °C, то \[P_0=kS\,(T_0-T_{\text{в}0})\quad\Rightarrow\quad kS=\frac{10\text{ Вт}}{50\text{ К}}=0{,}2\text{ Вт/К}.\]

3. Площади по рисунку. Изотермы \(70\), \(60\), \(50\) и \(40\) °C разбивают пластину на пять областей: внутри изотермы \(70\) °C, три кольцевые полосы между изотермами и угловые области снаружи изотермы \(40\) °C. Площади областей измерены по рисунку; на каждой области температуру берём равной середине её интервала (внутри \(70\) °C — \(72\) °C, снаружи \(40\) °C температура лежит между \(30\) °C воздуха и \(40\) °C, берём \(35\) °C).

4. Средний перегрев. Над воздухом (\(30\) °C) области нагреты на \(42\), \(35\), \(25\), \(15\) и \(5\) К. Взвесим их долями площади: \[\langle T\rangle-T_{\text{в}}=\sum_i\frac{S_i}{S}\,(T_i-T_{\text{в}})\approx0{,}03\cdot42+0{,}10\cdot35+0{,}25\cdot25+0{,}42\cdot15+0{,}20\cdot5\approx18{,}3\text{ К}.\]

5. Мощность. \[P=kS\,\bigl(\langle T\rangle-T_{\text{в}}\bigr)\approx0{,}2\text{ Вт/К}\cdot18{,}3\text{ К}\approx3{,}7\text{ Вт}.\] Обратите внимание: нельзя взять температуру самого горячего места, \(70\) °C: тепло отдаёт вся пластина, а большая её часть заметно холоднее. Так получилось бы \(0{,}2\cdot40=8\text{ Вт}\), вдвое больше.

Проверка. Размерность: \(\text{Вт/К}\cdot\text{К}=\text{Вт}\). Верхняя оценка: если бы вся пластина имела \(70\) °C при воздухе \(30\) °C, мощность была бы \(8\) Вт; средний перегрев \(18\) К вдвое меньше, и мощность \(3{,}7\) Вт меньше восьми, как и должно быть. Устойчивость оценки: если температуру угловых областей ниже \(40\) °C принять равной \(32\) °C или \(38\) °C, мощность меняется на \(\pm0{,}12\) Вт; ответ — около \(3{,}7\) Вт с точностью порядка \(0{,}3\) Вт.

Ответ: \(P\approx3{,}7\text{ Вт}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.