Проточный аквариум

В установившемся режиме вся мощность нагревателя идёт на нагрев втекающей воды и на потери тепла из аквариума. Почему при двух нагревателях расход вырос втрое, а не вдвое, и что это говорит о потерях?

Расход надо довести до нуля (проток перекрыть): мощности \(P_0/2\) хватает только на потери. При \(P=100\text{ Вт}\) расход \(q=\dfrac{P}{2c(t_2-t_1)}\approx0{,}7\text{ г/с}\) (\(\approx2{,}5\) л в час).

Что происходит. Температура воды в аквариуме не меняется, значит, поступающая тепловая мощность нагревателей уходит на два дела: на нагрев втекающей холодной воды от \(t_1\) до \(t_2\) и на потери тепла в окружающую среду через стенки. Если бы потерь не было, при двух нагревателях расход вырос бы вдвое; в условии он вырос втрое. Значит, потери есть, и они существенны. Главная идея: записать баланс мощностей для трёх режимов, потери при одной и той же температуре воды одинаковы и исключаются.

Обозначения. \(q\) — расход холодной воды (масса в секунду), \(c\) — удельная теплоёмкость воды, \(\Delta t=t_2-t_1=17\,^\circ\text{C}\), \(P_0\) — мощность одной спирали при напряжении сети \(U\), \(R\) — сопротивление спирали, \(W\) — мощность потерь тепла (при постоянной \(t_2\) одна и та же). Напряжение сети постоянно, нагреватели одинаковые.

1. Закон сохранения энергии для воды в аквариуме. Установившийся режим: температура воды постоянна, поэтому вся мощность нагревателя уходит на нагрев протекающей воды и на потери тепла через стенки. В мощностях \[P=qc\,\Delta t+W .\]

2. Один и два нагревателя параллельно. При параллельном соединении на каждой спирали полное напряжение \(U\), и мощность каждой равна \(P_0\), суммарная — \(2P_0\). Расход в обычном режиме \(q_0\), при двух нагревателях — \(3q_0\): \[P_0=q_0c\,\Delta t+W,\qquad 2P_0=3q_0c\,\Delta t+W .\] Вычтем первое уравнение из второго: \(P_0=2q_0c\,\Delta t\). Отсюда \(q_0c\,\Delta t=\dfrac{P_0}2\) и из первого уравнения \(W=\dfrac{P_0}2\). Неизвестная мощность потерь найдена: она равна половине мощности одного нагревателя.

3. Два нагревателя последовательно. Сопротивление цепи \(2R\), ток \(I=\dfrac{U}{2R}\), мощность \[P_{\text{посл}}=I^2\cdot2R=\frac{U^2}{2R}=\frac{P_0}{2},\] так как \(P_0=\dfrac{U^2}{R}\). Обратите внимание: суммарная мощность при последовательном включении вдвое меньше, а не вдвое больше, чем у одной спирали. Баланс: \(\dfrac{P_0}2=q\,c\,\Delta t+\dfrac{P_0}2\), откуда \(q=0\). Всей мощности хватает только на компенсацию потерь, поэтому проток нужно перекрыть. Если оставить проток, вода начнёт остывать.

4. Расход при одной спирали 100 Вт. Из \(q_0c\,\Delta t=\dfrac{P_0}2\): \[q_0=\frac{P_0}{2c\,\Delta t}=\frac{100}{2\cdot4200\cdot17}\ \frac{\text{кг}}{\text{с}}\approx7{,}0\cdot10^{-4}\text{ кг/с}\approx0{,}7\text{ г/с}\approx2{,}5\text{ л/ч}.\] Удельная теплоёмкость воды принята равной \(4200\text{ Дж/(кг}\cdot{}^\circ\text{C)}\).

Проверка. Размерность: \([P/(c\Delta t)]=\dfrac{\text{Вт}}{\text{Дж}/\text{кг}}=\text{кг/с}\). Второй способ — графический: зависимость мощности от расхода \(P=W+qc\Delta t\) — прямая. Две точки известны: \((q_0;P_0)\) и \((3q_0;2P_0)\); проведём через них прямую и продолжим до \(q=0\): она пересекает ось мощности при \(P_0/2\) — ровно столько даёт последовательное включение. Значит, расход действительно нулевой.

Физический смысл: потери — половина мощности одной спирали, то есть заметная доля. Поэтому последовательное включение «ничего не нагревает» сверх потерь.

Ответ. При последовательном включении расход воды надо довести до нуля (перекрыть проток). При одной спирали мощности \(P=100\text{ Вт}\) расход \(q=\dfrac{P}{2c(t_2-t_1)}\approx0{,}7\text{ г/с}\) (около 2,5 л в час).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.