Пельмени и долив воды

Запишите тепловой баланс для нагрева первой порции воды, для нагрева второй порции до температуры \(\theta\) и для нагрева всей смеси до кипения за время \(\tau\), считая мощность постоянной.

Обозначения: \(P\) — поступающая мощность (с учётом потерь), \(C_1\), \(C_2\) — теплоёмкости 1-й и 2-й порций воды, \(t_{к} = 100\,^{\circ}\)C — температура кипения. Тогда \[\begin{cases} PT = C_1(t_{к} - t_0), \\ C_1(t_{к} - \theta) = C_2(\theta - t_0), \\ P\tau = (C_1 + C_2)(t_{к} - \theta). \end{cases}\] Из этих уравнений \[\frac{\tau}{T} = \left(1 + \frac{C_2}{C_1}\right)\frac{t_{к} - \theta}{t_{к} - t_0} = \frac{t_{к} - t_0}{\theta - t_0}\cdot\frac{t_{к} - \theta}{t_{к} - t_0} = \frac{t_{к} - \theta}{\theta - t_0},\] откуда \(\tau\theta - \tau t_0 = Tt_{к} - T\theta\), и \[\theta = \frac{Tt_{к} + \tau t_0}{T + \tau} = \frac{12\cdot 100 + 4\cdot 20}{12 + 4} = \frac{1280}{16} = 80\,^{\circ}\text{C}.\]