Эскалаторы в метро

Запишите длину эскалатора двумя способами для Пети и Кати: через число ступенек и через время бега, учитывая скорость эскалатора и скорость бега относительно него.

Обозначения: \(x\) — ширина одной ступеньки, \(k = \dfrac{5}{3}\), \(N\) — ступеньки, насчитанные Васей, \(u\) — скорость эскалатора, \(v\) — скорость бега Кати относительно эскалатора, \(kv\) — скорость бега Пети относительно эскалатора. Тогда \[\begin{cases} S = Nx = (kv - u)\,t_1 = (kv - u)\dfrac{N_1 x}{kv}, \\[2mm] S = Nx = (v + u)\,t_2 = (v + u)\dfrac{N_2 x}{v}, \end{cases}\] откуда \[\begin{cases} N_1 u = kv(N_1 - N), \\ N_2 u = v(N - N_2), \end{cases} \qquad \frac{N_1}{N_2} = k\cdot\frac{N_1 - N}{N - N_2}.\] Отсюда \(N(N_1 + kN_2) = (k+1)N_1N_2\) и \[N = \frac{(k+1)N_1N_2}{N_1 + kN_2} = \frac{8}{3}\cdot\frac{80\cdot 48}{80 + 80} = 64.\]