Штора, сложенная вдвое

Подвижная половина падает свободно, а неподвижная часть растёт: сгиб идёт вниз, и всё новые куски шторы мгновенно останавливаются. Сила карниза определяется изменением импульса всей шторы.

\(F=\dfrac{mg}2+\dfrac{3mg^2t^2}{4L}\approx14{,}7+144\,t^2\text{ Н}\) при \(0\le t\le\sqrt{2L/g}\approx0{,}55\text{ с}\); в момент распрямления \(F=2mg\approx58{,}8\text{ Н}\), после этого \(F=mg\approx29{,}4\text{ Н}\).

Что происходит. Подвижная половина падает свободно, а сгиб идёт вниз и «подбирает» куски шторы: каждый кусок, дойдя до сгиба, мгновенно останавливается, и неподвижная часть принимает его импульс как при ударе (механическая энергия на сгибе теряется). Сила карниза равна \(mg\) минус скорость изменения импульса шторы. Главная идея: посчитать импульс подвижной части в произвольный момент.

Обозначения. Ось направим вниз, начало — на карнизе. \(L=1{,}5\text{ м}\) — длина шторы по вертикали, \(\lambda=m/L=2\text{ кг/м}\) — масса единицы длины, \(F\) — сила, с которой карниз держит штору, \(g=9{,}8\text{ м/с}^2\). Подвижная ветвь имеет длину \(w\), неподвижная — \(L-w\); в начале \(w=L/2\).

1. Кинематика. Подвижная ветвь падает свободно: её скорость \(v=gt\), верхний край опустился на \(z=\dfrac{gt^2}{2}\). Штора не растягивается, поэтому сгиб находится на глубине \(\dfrac L2+\dfrac z2\): неподвижная ветвь имеет длину \(\dfrac L2+\dfrac z2\), подвижная — \(w=\dfrac L2-\dfrac z2\), а сгиб движется вдвое медленнее края, со скоростью \(v/2\).

2. Закон изменения импульса для всей шторы. На штору действуют сила тяжести \(mg\) вниз и сила карниза \(F\) вверх. Импульс шторы целиком в подвижной ветви: \(P=\lambda\,w\,v=\lambda\Bigl(\dfrac L2-\dfrac z2\Bigr)v\). Продифференцируем, учтя \(\dot z=v\), \(\dot v=g\): \[\frac{dP}{dt}=\lambda\Bigl(\frac L2-\frac z2\Bigr)g-\lambda\frac{v^2}{2}.\] Из \(\dfrac{dP}{dt}=mg-F\) получаем \[F=mg-\lambda\Bigl(\frac L2-\frac z2\Bigr)g+\lambda\frac{v^2}{2}=\lambda g\Bigl(\frac L2+\frac z2\Bigr)+\lambda v\cdot\frac v2 .\] Первое слагаемое — вес неподвижной части, второе — импульс, который она отбирает у подвижной за секунду (масса \(\lambda v/2\) в секунду останавливается с скорости \(v\)).

3. Подставим \(z\) и \(v\): \[F=\frac{mg}2+\frac{\lambda g^2t^2}{4}+\frac{\lambda g^2t^2}{2}=\frac{mg}2+\frac{3mg^2t^2}{4L}\approx14{,}7+144\,t^2\text{ Н}.\] Формула верна, пока подвижная ветвь есть, то есть при \(z\le L\): \(0\le t\le t_1=\sqrt{\dfrac{2L}g}\approx0{,}55\text{ с}\).

4. Конец падения. При \(t=t_1\): \(F=\dfrac{mg}2+\dfrac{3mg}{2}=2mg\approx58{,}8\text{ Н}\). Дальше подвижной ветви нет, штора висит неподвижно: \(F=mg\approx29{,}4\text{ Н}\).

Обратите внимание: сила в конце падения вдвое больше веса шторы, а сразу после падает до \(mg\) — на графике скачок вниз.

Обратите внимание: свободное падение подвижной ветви — это модель с потерей энергии на сгибе. Если считать штору идеально гибкой нитью без потерь, ветвь тянет вниз натяжение сгиба, край падает быстрее \(g\) и сила растёт быстрее, до бесконечности при \(t\approx0{,}47\text{ с}\). Опыты с цепочками ближе к этой модели, но в задаче принят простой вариант.

Проверка. Размерность: \([\lambda g(L+z)]=\text{Н}\). При \(t=0\) \(F=mg/2\): держит только неподвижная половина. Второй способ: импульс шторы в начале и в конце падения равен нулю, поэтому \(\int_0^{t_1}F\,dt=mgt_1\): слева \(14{,}7\cdot0{,}553+48{,}0\cdot0{,}553^3=8{,}13+8{,}13=16{,}3\text{ Н}\cdot\text{с}\), справа \(29{,}4\cdot0{,}553=16{,}3\text{ Н}\cdot\text{с}\).

Ответ. \(F=\dfrac{mg}2+\dfrac{3mg^2t^2}{4L}\approx14{,}7+144\,t^2\text{ Н}\) при \(0\le t\le0{,}55\text{ с}\); к моменту распрямления \(F=2mg\approx58{,}8\text{ Н}\), затем \(F=mg\approx29{,}4\text{ Н}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.