Зависшая ракета
5/10Ракета, испускающая продукты сгорания со скоростью 3 км/с, неподвижно ``зависла'' над Землей. Через какое время масса ракеты уменьшится на 1 процент? Ускорение свободного падения считайте равным 10 м/с\(^2\). Ответ представьте в секундах и округлите до целых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДля зависшей ракеты сила тяги равна силе тяжести. Выразите тягу через расход топлива и скорость выброса.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ3 с
Таз на колёсиках
5/10Тазик на колёсиках движется под дождём по горизонтальной дороге. Суммарная масса капель в единице объёма равна \(\rho\), а их скорость вблизи поверхности земли равна \(u\). Площадь верхнего горизонтального сечения тазика равна \(S\). В нулевой момент (\(t=0\)) таз пустой, его масса вместе с колёсами равна \(M\), а скорость равна \(v_0\) (\(v_0 \ll u\)). Далее везде силой трения качения и силой сопротивления воздуха можно пренебречь.
A. Пусть в дне таза есть небольшое отверстие. Дождевая вода, попадая в таз, стекает на дно, распределяется по нему тонким слоем и вытекает через отверстие. Можно считать, что масса воды в тазу пренебрежимо мала по сравнению с массой таза.
A1) Какое расстояние \(L_1\) пройдёт таз до остановки, если капли падают вертикально?
A2) Подул встречный (для тазика) ветер, так что горизонтальная составляющая скорости капель вблизи земли оказалась равна \(w\), а вертикальная — равна \(u\). Какое расстояние \(L_2\) пройдет тазик до остановки, если время движения равно \(t\)?
B. В этой части задачи считается, что дырок в тазике нет, вся попадающая в таз дождевая вода остаётся в нём. За рассматриваемое время вода не заполняет таз целиком и не переливается через борт. Ветра нет, скорость капель вертикальна.
B1) Определите зависимость скорости таза от времени \(v(t)\) в этом случае.
B2) Если таз проходит расстояние \(S\) к моменту, когда масса воды в нём становится равна массе таза \(M\), то какое расстояние он пройдёт к моменту, когда масса воды в нём станет равна \(3M\)?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаТаз получает от дождя массу, которая вначале неподвижна по горизонтали. Какая величина сохраняется в горизонтальном направлении, пока вода либо вытекает, либо остаётся в тазу?
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветA1) \(L_1 = \dfrac{Mv_0}{\rho u S}\); A2) \(L_2 = \dfrac{Mv_0}{\rho u S} - wt\); B1) \(v(t) = \dfrac{Mv_0}{M + \rho u S t}\); B2) \(S_1 = 2S\).
Водяная ракета
6/10«Водяная ракета» представляет собой полуторалитровую (\(V = 1{,}5\) л) бутылку, в которую налито небольшое количество воды массой \(m = 200\) г. Ракета несёт полезный груз, закреплённый на её корпусе снаружи. Бутылка заткнута резиновой пробкой, а давление воздуха в ней равно \(p = 5\) атмосфер. Оцените, на какую высоту взлетит эта ракета, запущенная вертикально вверх из перевёрнутого положения в результате быстрого выброса воды после удаления пробки. В момент старта ракета была неподвижна. Общая масса взлетевшей ракеты с «боеголовкой» \(M = 0{,}5\) кг. Считайте, что давление в бутылке при выбросе воды меняется не сильно. Массой пробки и воздуха в бутылке пренебречь. Плотность воды \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\), ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаРабота газа при выбросе воды \(p\,\Delta V\) идёт на кинетическую энергию воды и ракеты; импульсы воды и ракеты равны, поэтому энергия делится обратно пропорционально массам.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(h = \dfrac{K_M}{Mg} = \dfrac{(4/5)\,p\,\Delta V\,m}{Mg(m+M)} = \dfrac{4pm^2}{5\rho Mg(m+M)} \approx 4{,}6\) м.
Топливо для разгона и торможения корабля
6/10Космонавты Ирина, Карина и Марина расположились на космической базе вдали от небесных тел. Ирина говорит: «Чтобы сообщить космическому кораблю массой в одну тонну скорость 1 км/c, надо запастись тонной горючего». Сколько топлива потребуется Ирине, чтобы сообщить кораблю массой в две тонны скорость 1 км/c? Сколько топлива потребуется Карине, чтобы сообщить кораблю массой в одну тонну скорость \(n\) км/с (в частности 3 км/с)? Сколько топлива потребуется Марине, чтобы сообщить кораблю массой в одну тонну скорость 1 км/с, а затем затормозить его?
Скорость ракеты Карины \(n\) км/с приводилась в варианте для 10 класса, скорость 3 км/с — в варианте для 7-9 классов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаТопливо нужно не только для груза, но и для самого оставшегося топлива. Рассмотрите разгон по ступеням в 1 км/с с конца: последняя ступень разгоняет только полезную нагрузку.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветДля разгона корабля массой 2 т до 1 км/с потребуется 2 т топлива. Для разгона корабля массой 1 т до \(n\) км/с требуется \((2^n - 1)\) т топлива. В частности, для разгона корабля массой 1 т до 3 км/с требуется 7 т топлива. Чтобы разогнать корабль массой 1 т до 1 км/с и затем затормозить, требуется 3 т топлива.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеРазогнать космический корабль массой 2 т до 1 км/с — всё равно, что разогнать два космических корабля массой 1 т до 1 км/с. Поэтому потребуется 2 т топлива.
Перейдём теперь к более сложному вопросу разгона корабля массой 1 т до \(n\) км/с. Если речь идёт о разгоне со скорости \((n-1)\) км/с до скорости \(n\) км/с (на 1 км/с), потребуется 1 т топлива. Но разгонять от скорости \((n-2)\) км/c до скорости \((n-1)\) км/с надо будет уже 2 т (1 т полезной нагрузки и 1 т топлива) — поэтому потребуется 2 т горючего. Учтём топливо, требуемое для разгона корабля на различных этапах в таблице:
Как видно из таблицы, начальная масса корабля с топливом составляет \(2^n\) т, из них 1 т полезной нагрузки и \((2^n - 1)\) т топлива.
Чтобы разогнать корабль до 1 км/с и потом затормозить, требуется столько же топлива, сколько для разгона до 2 км/с (два раза надо сообщить скорость 1 км/с) — это 3 т.
Эолипил
6/10Эолипил (паровой двигатель, изобретённый в Древней Греции) представляет собой металлический котёл с двумя трубками на крышке, на которых, как на оси, может вращаться турбина в виде полого шара с двумя одинаковыми Г-образными патрубками (соплами). В котел заливают воду, герметично закрывают его и ставят на огонь. Образовавшийся при кипении водяной пар по трубкам поступает в шар и выходит с большой скоростью через сопла, заставляя шар вращаться (см. рисунок из «Википедии»). Пусть мощность подвода тепла к воде равна \(P = 1\) кВт, площадь сечения патрубка \(S = 0{,}1\) см\(^2\), а расстояние от сопла до оси вращения \(d = 10\) см. Считайте, что из сопла выходит насыщенный пар при атмосферном давлении, равном \(p_0 = 10^5\) Па. Трением в оси и сопротивлением воздуха можно пренебречь.
Определите момент сил, действующих на шар со стороны пара, если шар зафиксирован.
Какое максимальное количество оборотов в минуту будет делать шар, если ему позволить свободно вращаться?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаРеактивная сила на один патрубок равна потоку импульса вытекающего пара. Мощность подвода тепла идёт на испарение, поэтому она связана с массовым расходом. Предельная скорость вращения достигается, когда пар выходит из сопла с нулевой скоростью относительно земли.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(M = \dfrac{P^2 R T_0 d}{2 S p_0 \mu L^2} \approx 1{,}8\cdot 10^{-3}\text{ Н}\cdot\text{м}\); 2) \(n_{\max} = \dfrac{15 P R T_0}{\pi p_0 \mu L S d} \approx 3700\text{ об/мин}\).
Похоже на уборку снега
6/10Некоторые особенности процесса сгребания снега бульдозером можно описать на основе следующей простейшей модели. Вдали от бульдозера (см. рис.) слой снега имеет линейную плотность \(\rho_0\) и покоится. Бульдозер и часть снега, прилегающая к его щиту, движутся с постоянной скоростью \(v\). На движущуюся часть действует сила трения, удовлетворяющая закону Кулона"=Амонтона: \(F_\text{тр} = \mu N\); коэффициент трения \(\mu\) считается известным. Ускорение свободного падения равно \(g\).
Пусть весь снег, вовлекаемый бульдозером в движение, распределяется в движущейся части со средней постоянной линейной плотностью \(\rho_1\). Бульдозер в состоянии развить мощность не более, чем \(W_0\). Найдите время \(t\), в течение которого возможно движение бульдозера с постоянной скоростью \(v\).
Пусть после того, как масса снега в движущейся части достигает некоторого значения \(M_0\), она перестаёт увеличиваться. При вовлечении в движение порции снега, такая же порция покидает движущуюся часть, скатываясь вбок относительно направления движения. Какую мощность \(W_1\) должен развивать бульдозер при движении с постоянной скоростью \(v\) в этом случае?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаГраница между покоящимся и движущимся снегом перемещается со скоростью, отличной от \(v\); из сохранения массы найдите её и массу движущейся части как функцию времени. Сила тяги уравновешивает трение и изменение импульса вовлекаемого снега.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветА) \(t = \dfrac{W_0}{\mu g v^2}\cdot\dfrac{\rho_1-\rho_0}{\rho_1\rho_0} - \dfrac{v}{\mu g}\); Б) \(W_1 = \mu M_0 g v + \rho_0 v^3\).
Вакуумная пушка
7/10В последние годы большой интерес у энтузиастов, занимающихся научно-техническим творчеством, вызывает устройство под названием «вакуумная пушка». В полипропиленовой водопроводной трубе 2 (см. рисунок ниже), один конец которой герметично закрыт заглушкой из фольги 3, а другой открыт в атмосферу, разностью давлений ускоряется шарик 1 для игры в пинг-понг. Внутренний диаметр трубы близок к диаметру шарика. Рядом с заглушкой располагается штуцер 4, через который труба соединяется с вакуумным насосом. Таким образом, справа от шарика давление очень низкое, а у открытого конца трубки — давление, близкое к атмосферному, которое равно \(P_0\).
Оказывается, что при достаточно большой длине трубки и качественной откачке, шарик можно разогнать до высокой скорости, так что он легко разорвёт фольгу заглушки и вылетит из трубки. В одном видеоролике, доступном в сети, демонстрируется, как вылетающий из трубки шарик пробивает пустые банки из-под газировки, поставленные на небольшом расстоянии от трубки.
В самой грубой модели предполагается, что слева от шарика давление равно \(P_0 = 10^5\) Па, а справа — равно нулю. Разность давлений не меняется в процессе разгона шарика. Трения между шариком и стенками трубы нет. До какой максимальной скорости \(v_{\max}^{(1)}\) может быть разогнан шарик массой \(M = 2{,}7\) г и диаметром \(d = 40\) мм в трубе длиной \(L = 2\) м? (1 балл)
В более точной модели считается, что под действием постоянной разности давлений ускоряется не только шарик, но и воздух массой \(m(t)\), располагающийся в момент \(t\) в трубе слева от шарика, а также вовлекаются в движение новые порции воздуха из атмосферы. Предлагается считать, что область вблизи левого торца трубы, в которой воздух вовлекается в движение, имеет малый характерный размер, сопоставимый с диаметром трубы. Снаружи трубы вне этой области воздух остаётся неподвижным. Внутри трубы воздух движется со скоростью шарика, а его плотность равна плотности воздуха \(\rho\) снаружи. Диаметр шарика много меньше длины трубы. В начальный момент времени координата \(x\) шарика и его скорость равны нулю.
Определите более точное значение скорости \(v_{\max}^{(2)}\), до которой может быть разогнан шарик тех же размеров, что и в п. 1) задачи, в трубе той же длины. Время разгона в первом приближении можно считать равным времени разгона в п. 1). Температура воздуха и его молярная масса равны: \(T_0 = 293\) К, \(\mu = 29\) г/моль соответственно. (3 балла)
Считая известными только температуру \(T_0 = 293\) К снаружи трубы и молярную массу воздуха \(\mu = 29\) г/моль, определите максимальную скорость, до которой может быть разогнан шарик. Длина трубы предполагается достаточно большой. (3 балла)
Даны параметры: \(M\), \(S\), \(P_0\), \(\rho\), \(\mu\). Получите формулу зависимости координаты шарика от времени \(x(t)\). (5 баллов)
Примечание. Может оказаться полезной формула \(\Delta(x^2) = 2x\Delta x\), справедливая для малых изменений (\(\Delta x \ll x\)) величины \(x\).
Интересно, что группа из американского университета Пёрдью, немного усложнив конструкцию, сумела разогнать шарик до сверхзвуковой скорости (\(v \approx 420\) м/с, в М \(= 1{,}23\) раза больше скорости звука), так что после вылета из трубки шарик для настольного тенниса пробил ракетку для настольного тенниса. Видео можно найти в сети по фразе: «Purdue Technology students build supersonic ping pong gun». В усовершенствованной конструкции на левом конце трубки имеется баллон со сжатым воздухом и сопло Лаваля, через которое воздух поступает в «ствол пушки».
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЗапишите второй закон Ньютона для шарика вместе с разгоняемым воздухом в форме изменения импульса за малое время \(\Delta t\): не забудьте, что в движение вовлекается новая масса \(\Delta m\) воздуха, покоившегося до этого.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(v_{\max}^{(1)} \approx 430\) м/с; 2) \(v_{\max}^{(2)} \approx 199\) м/с, при \(v(t_0) = \dfrac{P_0 S t_0}{m(t_0)+M}\); 3) \(P_0 = \rho u^2\), \(u \approx 294\) м/с; 4) \(x(t) = -\dfrac{M}{\rho S} + \sqrt{\left(\dfrac{M}{\rho S}\right)^2 + \dfrac{P_0 t^2}{\rho}}\).
Мартышка тянет удава
7/10Удав выпрямился, лежа на горизонтальной поверхности, расслабился и не сопротивляется совсем. Его масса \(M\) равномерно распределена по его длине \(L\). Поверхность гладкая, и по ней рядом с удавом и параллельно ему проложена тропинка (не гладкая) для прогулок. Мартышка, находясь на этой тропинке, схватила удава за кончик его хвоста и потащила этот конец удава в направлении к его голове. При этом удав целиком лежит на поверхности. Сила \(F\), с которой мартышка тянет хвост удава, горизонтальна и меняется в зависимости от времени \(t\) по закону \(F = At\), где \(A\) — это известная постоянная величина.
С какой скоростью двигался кончик хвоста удава в тот момент, когда расстояние от него до головы удава впервые стало равно \(\dfrac{L}{2}\)?
Через какое время хвост удава поравняется с неподвижной головой удава?
Какой будет скорость всего удава в тот момент, когда его голова придёт в движение?
Указание. Может оказаться полезной формула \[\int\limits_a^b x^n\,dx = \frac{1}{n+1}\left(b^{n+1} - a^{n+1}\right), \quad n \ne -1.\]
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДвижется только та часть удава, до которой уже «дошёл» хвост, и её масса растёт. Запишите импульс этой части через смещение \(X\) кончика хвоста и приравняйте скорость его изменения силе.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(\dfrac{dX}{dt} = \left(\dfrac{9AL^2}{8M}\right)^{1/3}\); 2) \(t(L) = \left(\dfrac{3LM}{2A}\right)^{1/3}\); 3) \(\dfrac{dX}{dt} = \left(\dfrac{9AL^2}{2M}\right)^{1/3}\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеК некоторому моменту времени кончик хвоста удава переместился на расстояние \(X\). В этот момент импульс удава (той его части, которая уже пришла в движение) равен \[P = \frac{M}{L}\cdot\frac{X}{2}\cdot\frac{dX}{dt} = \frac{M}{4L}\cdot\frac{d(X^2)}{dt}.\] Скорость изменения импульса равна силе \[\frac{dP}{dt} = \frac{M}{4L}\cdot\frac{d\left[\dfrac{d(X^2)}{dt}\right]}{dt} = At.\] Интегрируем уравнение два раза по времени и получаем соотношение \[X^2\,\frac{M}{4L} = \frac{At^3}{6} + C_1 t + C_2.\] Здесь \(C_1\) — константа, связанная со скоростью кончика хвоста в начальный момент, а \(C_2\) — это константа, зависящая от начальной координаты кончика хвоста. В начальный момент времени и скорость \(V_0\), и смещение \(X_0\) кончика хвоста удава равны нулю. Отсюда следует, что \(C_1 = 0\) и \(C_2 = 0\), поэтому справедлива формула \[X^2\,\frac{M}{4L} = \frac{At^3}{6}. \tag{1}\] Смещение \(X\) связано со временем \(t\) так: \[X(t) = \sqrt{\frac{2AL}{3M}}\cdot t^{3/2}.\] А скорость кончика хвоста так: \[\frac{dX}{dt} = \frac{3}{2}\cdot\sqrt{\frac{2AL}{3M}}\cdot t^{1/2}\] или \[\frac{dX}{dt} = \sqrt{\frac{3AL}{2M}}\cdot t^{1/2}. \tag{2}\]
Для ответа на первый вопрос нужно найти время, когда \(X = \dfrac{L}{2}\). Подставляем это значение \(X\) в формулу (1) и получаем \[t = \left(\frac{3ML}{8A}\right)^{1/3}.\] Подставим найденное значение времени в формулу для скорости (2), имеем \[\frac{dX}{dt} = \sqrt{\frac{3AL}{2M}}\cdot\left(\frac{3ML}{8A}\right)^{1/6}\] или \[\frac{dX}{dt} = \left(\frac{9AL^2}{8M}\right)^{1/3}.\]
Для ответа на второй вопрос нужно в формулу (1) подставить значение \(X = L\): \[t(L) = \left(\frac{3LM}{2A}\right)^{1/3}.\]
Для ответа на третий вопрос нужно в формулу (1) подставить значение \(X = 2L\) и получить значение времени, а затем полученное значение времени подставить в формулу (2). Сначала получится соотношение \[t(2L) = \left(\frac{6LM}{A}\right)^{1/3},\] а затем ответ: \[\frac{dX}{dt} = \sqrt{\frac{3AL}{2M}}\cdot\left(\frac{6LM}{A}\right)^{1/6}\] или \[\frac{dX}{dt} = \left(\frac{9AL^2}{2M}\right)^{1/3}.\]
Мощность двигателей Сатурна-5
4/10Медленный подъём ракеты: сила тяги равна mg и по скорости истечения газа определяется расход топлива; мощность двигателей — кинетическая энергия выброшенных газов в секунду.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Тележка с мешками
5/10С лёгкой тележки по очереди бросают мешки с заданной скоростью относительно тележки; по закону сохранения импульса для каждого броска набирается скорость тележки (варианты 1–2).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Ракета с максимальной энергией
5/10Ракета с постоянным расходом топлива: по уравнению Мещерского скорость v = v0·ln(M0/M); кинетическую энергию (1/2)Mv² исследуем на максимум по массе.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Песок из бункера на платформу
5/10Песок падает с высоты и неупруго ложится на движущуюся платформу, тепловоз поддерживает скорость; теплота равна потере механической энергии песка в системе платформы.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Ракета: вес спутника в полёте
6/10Вес выводимого на орбиту спутника растёт со временем из-за ускорения ракеты (P=m(g+a)); при постоянном расходе топлива масса ракеты линейно падает, из двух моментов находят ускорения и скорость истечения газов по уравнению Мещерского. (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Цепочка падает в отверстие
6/10Цепочка из мелких звеньев сползает со стола в отверстие; рывки звеньев при вовлечении в движение неупруги, поэтому энергия не сохраняется — по закону изменения импульса найти время падения и обосновать.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Мягкая посадка
6/10Корабль тормозит двигателем с постоянной скоростью истечения у поверхности без атмосферы; расход топлива пропорционален импульсу тяги, поэтому минимум топлива даёт условие на начальную скорость при заданной конечной vп (возможно несколько значений).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Реактивная трубка
8/10Открытая трубка с нагревателем-сеточкой разгоняется потоком нагретого воздуха; из расхода воздуха, нагрева при постоянном давлении и изменения энергии найти скорость на пути 20 м.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Песок на ленте транспортёра
4/10Мощность идёт на разгон падающего песка до скорости ленты (v²/2 на единицу массы) и на трение скольжения той же величины; оценка P ≈ μv² (μ — расход песка).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Водомётный катер
4/10Насос разгоняет воду до скорости U относительно катера; реактивная сила ρS·V(U−V) уравновешена сопротивлением kV², отсюда установившаяся скорость. (варианты с разными числами)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.