Шарик и вращающийся цилиндр

Сколько времени шарик летит через цилиндр? За это время отверстие должно вернуться в исходное положение с точностью до поворота на углы, при которых оно оказывается на противоположной стороне.

Если шарик не испытывает соударений со стенками и вылетает через то же отверстие, через которое влетел, то он пролетает внутри цилиндра диаметр за время \[t_{\text{пролёта}} = \frac{2R}{v} .\] За это время цилиндр должен повернуться на угол \(\varphi\), при котором отверстие окажется напротив выхода шарика: \[\varphi = \omega\, t_{\text{пролёта}} = \pi + 2\pi n = \pi(2n+1) ,\] где \(n\) — любое целое число. Таким образом, искомая угловая скорость по модулю \[\omega = \frac{\pi(2n+1)\,v}{2R} .\]