Курчатов, 2014/15, заключительный этап, 9 класс

Сколько времени шарик летит через цилиндр? За это время отверстие должно вернуться в исходное положение с точностью до поворота на углы, при которых оно оказывается на противоположной стороне.

\(\omega = \dfrac{\pi(2n+1)\,v}{2R}\), где \(n\) — любое целое число (модуль угловой скорости).

Если шарик не испытывает соударений со стенками и вылетает через то же отверстие, через которое влетел, то он пролетает внутри цилиндра диаметр за время \[t_{\text{пролёта}} = \frac{2R}{v} .\] За это время цилиндр должен повернуться на угол \(\varphi\), при котором отверстие окажется напротив выхода шарика: \[\varphi = \omega\, t_{\text{пролёта}} = \pi + 2\pi n = \pi(2n+1) ,\] где \(n\) — любое целое число. Таким образом, искомая угловая скорость по модулю \[\omega = \frac{\pi(2n+1)\,v}{2R} .\]

Вода начинает вытекать, когда сила давления воды на боковые стенки, направленная вниз, сравнивается с силой тяжести призмы. Как найти вертикальную составляющую силы давления на наклонную стенку?

\(m = \rho L h^2\,\text{tg}\,\alpha\).

Силу тяжести, действующую на призму, должна уравновешивать вертикальная составляющая силы давления воды на её стенки. Найдём силу давления \(\Delta F\) на малый участок одной из наклонных стенок высотой \(\Delta x\), находящийся на глубине \(x\): \[\Delta F = \frac{\rho g x\, L\,\Delta x}{\cos\alpha} .\] Проекция этой силы на вертикальную ось равна \[\Delta F_{\text{в}} = -\rho g x\, L\,\Delta x\,\text{tg}\,\alpha .\] Полная вертикальная сила \(F_{\text{в}}\) на стенку, с учётом того, что глубина меняется от \(0\) до \(h\), равна площади под графиком \(\Delta F_{\text{в}}/\Delta x\) от \(x\), который линеен с угловым коэффициентом \(\rho g L\,\text{tg}\,\alpha\): \[F_{\text{в}} = -\frac{\rho g L\,\text{tg}\,\alpha\, h^2}{2} .\] У призмы две такие стенки, поэтому условие равновесия \(mg + 2F_{\text{в}} = 0\) даёт \[m = \rho L h^2\,\text{tg}\,\alpha .\]

Учтите, что часть воды при контакте с пластиной успеет испариться и покинуть сосуд. Когда прекратится испарение?

\(t \approx 24{,}7\,^{\circ}\text{C}\).

Пластина нагрета до температуры, намного большей \(100\,^{\circ}\text{C}\). При контакте с ней часть воды быстро нагреется до температуры кипения, испарится, покинет сосуд и не будет участвовать в дальнейшем теплообмене. Испарение прекратится, когда пластина остынет до \(100\,^{\circ}\text{C}\). Оценим массу испарившейся воды из теплового баланса: \[m_{\text{исп}} = \frac{0{,}38\ \frac{\text{кДж}}{\text{кг}\cdot{}^{\circ}\text{C}}\cdot 0{,}64\text{ кг}\cdot(800\,^{\circ}\text{C} - 100\,^{\circ}\text{C})}{2{,}3\ \frac{\text{МДж}}{\text{кг}} + 4{,}2\ \frac{\text{кДж}}{\text{кг}\cdot{}^{\circ}\text{C}}\cdot 80\,^{\circ}\text{C}} \approx 65\text{ г}.\] Масса оставшейся в сосуде воды \(m_{\text{ост}} = 1000\text{ г} - 65\text{ г} = 935\text{ г}\). Искомую температуру \(t\) найдём из уравнения теплового баланса: \[4{,}2\ \frac{\text{кДж}}{\text{кг}\cdot{}^{\circ}\text{C}}\cdot 0{,}935\text{ кг}\cdot (t - 20\,^{\circ}\text{C}) = 0{,}38\ \frac{\text{кДж}}{\text{кг}\cdot{}^{\circ}\text{C}}\cdot 0{,}64\text{ кг}\cdot (100\,^{\circ}\text{C} - t),\] откуда \(t \approx 24{,}7\,^{\circ}\text{C}\).

Какую долю напряжения источника в первой схеме показывает вольтметр? Во второй схеме как соединены части реостата?

\(R \approx 281\) Ом.

Обозначим полное сопротивление реостата через \(R\), а сопротивление участка, к которому в первом случае подключён вольтметр, — через \(kR\). Тогда второй участок имеет сопротивление \((1 - k)R\).

В первом случае вольтметр показывает \[V_1 = kU ,\] где \(U\) — напряжение источника, значит, \(k = V_1/U\).

Во втором случае оба участка реостата соединены параллельно и подключены к источнику, поэтому вольтметр показывает напряжение источника \(U = V_2\). Мощность, выделяющаяся на реостате: \[P = \frac{U^2}{kR} + \frac{U^2}{(1-k)R} = \frac{U^2}{R}\cdot\frac{1}{k(1-k)} ,\] откуда \[R = \frac{U^2}{P}\cdot\frac{1}{k(1-k)} .\] Здесь \(U = V_2 = 15\) В и \(k = V_1/V_2 = 0{,}2\), значит, \(k(1-k) = 0{,}16\) и \[R = \frac{1}{0{,}16}\cdot\frac{(15\text{ В})^2}{5\text{ Вт}} \approx 281\text{ Ом} .\]

Чтобы увидеть всю картину в зеркале, нужно видеть отражение каждого её края. Постройте отражения краёв картины в плоскости зеркала.

Только из точки \(A\).

Чтобы полностью увидеть отражение картины, необходимо и достаточно видеть отражение каждого из её краёв. Из каждого края картины проводим лучи к краям зеркала и для каждого падающего луча строим отражённый. Область, из которой видны оба края картины, — пересечение таких областей. Оно содержит только точку \(A\). Из точки \(B\) отражение видно частично, из точки \(C\) не видно совсем.