Шайба на нити и лунка

Когда нить натягивается, шайба движется как при упругом отражении от окружности радиуса \(l\); примените теорему синусов к треугольнику \(CDB\).

\(\alpha=30^\circ\).

11-1. Движение шайбы можно рассматривать как движение внутри цилиндра радиуса \(l\) с абсолютно упругими ударами о цилиндр. Когда нить натянется направление скорости шарика изменится так, траектория движения \(ADB\) будет образовывать равные углы с натянутой нитью \(CD\). Понятно, что угол \(\angle CDB\) будет равен искомому углу \(\angle DAC = \alpha\), угол \(\angle DCB = 2\alpha\), тогда угол \(\angle DBC = \pi - 3\alpha\). Запишем теорему синусов для треугольника \(CDB\) -

\[\frac { l } { s i n ( \pi - 3 \alpha ) } = \frac { l } { 2 \, s i n \, \alpha } .\]

Решая это уравнение, можно найти \(\alpha = 30^{\circ}\).

Правильный вид траектории показан на следующем рисунке.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.