Перемотка тонкой ленты

После перемотки толстой ленты она будет занимать часть катушки площадью \(S_1 = \pi(r_\text{к}^2 - r_\text{н}^2) = 8\pi r_\text{н}^2\). Тогда длина намотанной ленты будет \(l = S_1/d = 8\pi(r_\text{н}^2/d)\), где \(d\) — толщина толстой ленты.

После перемотки тонкой ленты она будет занимать часть катушки площадью \(S_2 = \pi(r_\text{к}'^2 - r_\text{н}^2)\), где \(r_\text{к}'\) — конечный радиус намотки во втором случае. Так как длины лент одинаковы, а толщина ленты во втором случае вдвое меньше, чем в первом, можно написать \[l = 2\pi(r_\text{к}'^2 - r_\text{н}^2)/d,\quad r_\text{к}'^2 - r_\text{н}^2 = 4r_\text{н}^2.\] Следовательно, конечный радиус \(r_\text{к}'\) намотки во втором случае равен \[r_\text{к}' = \sqrt5\,r_\text{н}.\] Число оборотов \(N_1\) и \(N_2\) катушки, сделанных при перемотке в первом и втором случаях, можно записать в виде \[N_1 = \dfrac{2r_\text{н}}{d},\quad N_2 = \dfrac{(\sqrt5 - 1)r_\text{н}}{d/2},\] откуда \(t_2 = (\sqrt5 - 1)t_1\).