Отрыв стержня от тела

До тех пор пока груз касается тела, скорость последнего равна горизонтальной составляющей скорости груза, а ускорение тела равно горизонтальной составляющей ускорения груза.

Пусть \(\vec a\) — полное ускорение груза, тогда можно написать: \(\vec a = \vec a_t + \vec a_\text{ц}\), где \(a_\text{ц}\) — центростремительное ускорение груза при его движении по окружности радиуса \(l\), т. е. \(a_\text{ц} = v^2/l\), где \(v\) — скорость груза (см. рисунок).

Горизонтальная составляющая ускорения груза равна \[a_\text{г} = a_t\sin\alpha - (v^2/l)\cos\alpha.\] С таким ускорением движется и тело. Напишем уравнение движения тела: \[N = Ma_\text{г} = Ma_t\sin\alpha - M(v^2/l)\cos\alpha,\] где \(N\) — сила нормального давления на тело со стороны груза. В момент отрыва груза \(N = 0\) и \[a_t\sin\alpha = (v^2/l)\cos\alpha.\] Ускорение \(a_t\) в момент отрыва сообщается грузу только силой тяжести: \[a_t = g\cos\alpha.\] Таким образом, скорость груза в момент отрыва равна \[v = \sqrt{gl\sin\alpha},\] а скорость тела в тот же момент \[u = v\sin\alpha = \sin\alpha\sqrt{gl\sin\alpha}.\] Согласно закону сохранения энергии, \[mgl = mgl\sin\alpha + mv^2/2 + Mv^2\sin^2\alpha/2.\] Подставив в это равенство найденное выражение для \(v\) в момент отрыва и значение \(\sin\alpha = \sin\pi/6 = 1/2\), найдем отношение \(M/m\): \[M/m = (2 - 3\sin\alpha)/\sin^3\alpha = 4.\] Скорость тела в момент отрыва груза равна \[u = v\sin\alpha = (1/2)\sqrt{gl/2}.\]