Шайба на гладком полушаре

Запишите закон сохранения энергии для шайбы и второй закон Ньютона в радиальном направлении. Касательная составляющая ускорения задаётся проекцией силы тяжести.

Пусть \(\alpha\) — угол между радиусом, проведённым к шайбе, и вертикалью. Из закона сохранения энергии и второго закона Ньютона в радиальном направлении \[\frac{mv^2}{2} = mg(R - R\cos\alpha), \qquad mg\cos\alpha - N = \frac{mv^2}{R},\] получаем \(N = mg(3\cos\alpha - 2)\). Касательная составляющая \(ma_\tau = mg\sin\alpha\) дает \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\), \(\cos\alpha = \dfrac{4}{5}\). Тогда \(N = \dfrac{2}{5}mg\). По третьему закону Ньютона шайба действует на полушар с силой \(\dfrac{2}{5}mg\).