Физтех, 2011/12, заключительный этап, 11 класс

Запишите закон сохранения энергии для шайбы и второй закон Ньютона в радиальном направлении. Касательная составляющая ускорения задаётся проекцией силы тяжести.

Пусть \(\alpha\) — угол между радиусом, проведённым к шайбе, и вертикалью. Из закона сохранения энергии и второго закона Ньютона в радиальном направлении \[\frac{mv^2}{2} = mg(R - R\cos\alpha), \qquad mg\cos\alpha - N = \frac{mv^2}{R},\] получаем \(N = mg(3\cos\alpha - 2)\). Касательная составляющая \(ma_\tau = mg\sin\alpha\) дает \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\), \(\cos\alpha = \dfrac{4}{5}\). Тогда \(N = \dfrac{2}{5}mg\). По третьему закону Ньютона шайба действует на полушар с силой \(\dfrac{2}{5}mg\).

Рассмотрите мысленно выделенный столбик жидкости в горизонтальном колене. На него действует разность давлений, которая сообщает ему центростремительное ускорение.

Мысленно выделенный столбик жидкости сечением \(S\) в горизонтальном колене имеет массу \(m = \rho S(3R - R) = 2\rho SR\). Ускорение центра масс \(a_c = \omega^2\dfrac{3R+R}{2} = 2\omega^2 R\). По второму закону Ньютона \(\rho gHS = ma_c\). Отсюда угловая скорость \[\omega = \frac{\sqrt{gH}}{2R}.\]

Сравните теплоту, полученную на изобаре, с работой на той же изобаре, используя связь изменения внутренней энергии одноатомного газа с его температурой.

Пусть в процессе 1–2 изобарического расширения газ получил количество теплоты \(Q_{12}\). Тогда \[Q_{12} = \nu\frac{3}{2}R(T_2 - T_1) + A, \qquad Q_{12} = \nu\frac{5}{2}R(T_2 - T_1).\] Отсюда \(Q_{12} = \dfrac{5}{2}A\). КПД цикла \[\eta = \frac{A_ц}{Q_{12}} = \frac{2A_ц}{5A}.\]

Конденсаторы соединены последовательно. В момент максимального тока напряжение на катушке равно нулю, поэтому весь заряд и вся энергия распределены между конденсаторами и источником.

Общая ёмкость \(C = \dfrac{C_1C_2}{C_1 + C_2}\).

1) При максимальном токе напряжение на конденсаторе \(C\) будет равно ЭДС источника \(\mathcal{E}\). От момента замыкания до момента максимального тока работа источника \(A = C\mathcal{E}\cdot\mathcal{E} = C\mathcal{E}^2\). Из закона сохранения энергии \[A = \frac{C\mathcal{E}^2}{2} + \frac{LI_0^2}{2},\] получаем \[\mathcal{E} = I_0\sqrt{\frac{L}{C}} = I_0\sqrt{\frac{L(C_1+C_2)}{C_1C_2}}.\]

2) При максимальном напряжении \(U_1\) на \(C_1\) (и одновременно максимальном напряжении \(U_m\) на \(C\)) ток в цепи будет равен нулю. Закон сохранения энергии от момента замыкания до момента нулевого тока: \(CU_m\cdot\mathcal{E} = \dfrac{1}{2}CU_m^2\). Отсюда \(U_m = 2\mathcal{E}\). На \(C_1\) максимальное напряжение \[U_1 = \frac{2\mathcal{E}C_2}{C_1+C_2} = 2I_0\sqrt{\frac{LC_2}{C_1(C_1+C_2)}}.\]

Используйте формулу тонкой линзы и поперечное увеличение \(\Gamma = f/d\). Расстояние от груза до линзы выражается через \(F\) и \(\Gamma\).

1) Начальное поперечное увеличение \(\Gamma_1 = 3\). \[\frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{F}, \qquad \Gamma_1 = \frac{f_1}{d_1} \quad\Rightarrow\quad d_1 = F\frac{\Gamma_1 + 1}{\Gamma_1} = 24~\text{см}.\]

2) Конечное поперечное увеличение \(\Gamma_2 = 3\cdot 2 = 6\). \[d_1 - d_2 = F\left(\frac{1}{\Gamma_1} - \frac{1}{\Gamma_2}\right) = 3~\text{см}.\] Линзу надо переместить на 3 см к грузу.