Нить и второй гвоздь

Чтобы шарик прошёл верхнюю точку маленькой окружности, там должно выполняться условие \(mv^2/R\ge mg\). Скорость в этой точке — из закона сохранения энергии.

Гвоздь надо вбить в точки с полярными координатами \((r,\beta)\) (\(r\) — расстояние от \(A\), \(\beta\) — угол между вертикалью и \(AC\)), для которых \(\dfrac{3l}{2\cos\beta+3}\le r<l\).

10.2 Будем задавать расположение гвоздя \(C\) с помощью полярных координат: \(r\) - расстояния от него до точки подвеса \(A\) и \(\beta\) - угла между вертикалью и отрезком \(AC\). Траектория шарика состоит из дуги окружности радиуса \(l\) (до касания нити о гвоздь) и соприкасающейся окружности радиуса \(l - r\) (после того, как нить начала наматываться на гвоздь). Чтобы шарик сделал полный оборот вокруг гвоздя, необходимо согласно 2 закону Ньютона, что бы в верхней точке окружности выполнялось условие

\[\frac { m v ^ { 2 } } { l - r } \ge m g .\tag{1}\]

Так как шарик сохраняет свою механическую энергию, то его скорость в этой точке можно найти из равенства

\[\frac { m v ^ { 2 } } { 2 } = m g ( r \cos \beta - l + r ) ,\tag{2}\]

где \((r \cos \beta - l + r)\) изменение высоты шарика. Объединяя (1) и (2), получим неравенство

\[\frac { 2 m g ( r \cos \beta - l + r ) } { l - r } \ge m g\tag{3}\]

и преобразуем его к виду

\[r \ge \frac { 3 l } { 2 \cos \beta + 3 } .\tag{4}\]

Линия ограничивающая эту область является дугой эллипса. Кроме того, понятно, что \(r < l\) (граница этой области - окружность). Область, точки которой удовлетворяют условию задачи, показана на рисунке.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.