Шарики на проволоке в поле

Шарики соединены проводником, поэтому их потенциалы равны: это определяет заряды как функцию положения. Сила линейна по координате, значит, работу можно найти как площадь под графиком.

\(v_{\max}=\sqrt{\dfrac{\pi\varepsilon_0 aE^2\left(l^2-l_0^2\right)}{m}}\) у каждого шарика (заряды \(\pm q\), \(q=4\pi\varepsilon_0aEx\)).

Под действием внешнего электрического поля шарики приобретут электрические заряды, которые будут изменяться по мере изменения расстояния между шариками. Взаимодействие этих зарядов с электрическим полем приведет к появлению сил, которые и будут разгонять шарики. Введем ось \(X\), как показано на рисунке и

найдем зависимость величины зарядов шариков от их координат. Понятно, что шарики будут двигаться симметрично, а их заряды будут равны по модулю и противоположны по знаку. Заряды шариков найдем из условия равенства их потенциалов

\[\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} a}-E x=-\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} a}+E x .\tag{1}\]

В этом соотношении учтено, что радиусы шариков малы, поэтому взаимновлияние зарядов шариков друг на друга пренебрежимо мало. Из соотношения (1) следует, что

\[q=4 \pi \varepsilon_{0} a E x .\tag{2}\]

Сила, действующая на каждый шарик, пропорциональна их координате и равна

\[F=q E=4 \pi \varepsilon_{0} a E^{2} x .\tag{3}\]

Из полученного соотношения следует, что скорости шариков будут максимальны, когда они разъедутся на максимальное расстояние. Работа силы, действующей на шарик,

равна его кинетической энергии:

\[A=\frac{m v^{2}}{2} .\]

Ее можно подсчитать графически, как площадь под графиком зависимости силы от координаты шарика. Простой подсчет приводит к следующему результату

\[v=\sqrt{\frac{\pi \varepsilon_{0} a E^{2}\left(l^{2}-l_{0}^{2}\right)}{m}} .\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.