Кольцо внутри вращающегося цилиндра

Вращающийся заряженный цилиндр — соленоид с поверхностной плотностью тока \(\sigma\omega R\). При раскручивании меняется его поле, возникает вихревое электрическое поле, которое раскручивает кольцо.

\(\omega_1=-\dfrac{\mu_0\sigma Rq}{2m}\,\omega_0\); при одноимённых зарядах кольца и цилиндра кольцо вращается в сторону, противоположную вращению цилиндра.

Вращение заряженного цилиндра эквивалентно существованию кругового электрического тока. Как известно, индукция магнитного поля внутри соленоида рассчитывается по формуле

\[B=\mu_{0} n I,\tag{1}\]

где \(n\) - плотность намотки, \(I\) - сила тока через обмотку. Произведение \(n I\) можно рассматривать как поверхностную плотность тока - заряд, протекающий в единицу времени через единицу длины боковой поверхности цилиндра. При вращении равномерно заряженного цилиндра поверхностная плотность тока может быть представлена в виде \(\sigma v=\sigma R \omega\), где \(\omega\) - угловая скорость вращения цилиндра.

Следовательно, в соответствии с формулой (1) индукция магнитного поля внутри вращающегося заряженного цилиндра определяется выражением

\[B = \mu_0 \sigma R \omega\tag{2}\]

При изменении скорости вращения (что неизбежно во время раскручивании) изменяется величина индукции поля, что в следствие явления электромагнитной индукции приводит к возникновению вихревого электрического поля. По закону Фарадея скорость изменения магнитного потока равна ЭДС индукции возникающего в контуре. Принимая во внимание осевую симметрию задачи и считая магнитное поле однородным, этот закон можно выразить в виде уравнения

\[2\pi r E = -\pi r^2 \frac{\Delta B}{\Delta t} = -\pi r^2 \mu_0 \sigma R \frac{\Delta \omega}{\Delta t}\tag{3}\]

из которого следует выражение для напряженности вихревого электрического поля

\[E = -\pi r^2 \frac{\Delta B}{\Delta t} = -\frac{r \mu_0 \sigma R}{2} \frac{\Delta \omega}{\Delta t}\tag{4}\]

Это поле действует на заря кольца, приводя к появлению момента сил, раскручивающего кольца. Корректное рассмотрение сил, действующих на отдельные малые элементы кольца, приводит к следующему выражению для изменения его угловой скорости

\[m r \frac{\Delta \omega_1}{\Delta t} = q E\tag{5}\]

Подставим выражение для напряженности вихревого поля (4) в уравнение (5), получим

\[\frac{\Delta \omega_1}{\Delta t} = -\frac{\mu_0 \sigma R q}{2m} \frac{\Delta \omega}{\Delta t}\tag{6}\]

Как следует из этого уравнения угловые ускорения цилиндра и кольца пропорциональны, следовательно (с учетом нулевых начальных условий), пропорциональны и угловые скорости вращения цилиндра и кольца, то есть

\[\omega_1 = -\frac{\mu_0 \sigma R q}{2m} \omega_0\tag{7}\]

Знак минус в полученном выражении указывает, что при одноименных зарядах кольца и цилиндра, кольцо будет вращаться в сторону, противоположную вращению цилиндра, в полном соответствии с правилом Ленца.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.