Колебания жёсткого диска

При максимальном отклонении скорость точки равна нулю, и полное ускорение — только тангенциальное. В положении равновесия тангенциальное ускорение равно нулю, остаётся центростремительное.

Амплитуда колебаний \(\varphi_0=1\text{ рад}\approx 57^\circ\).

Крутильные колебания диска описываются функцией

\[\varphi = \varphi_0 \cos \omega t,\tag{1}\]

где \(\varphi\) - угол отклонения от положения равновесия, \(\varphi_0\) - угловая амплитуда колебаний, \(\omega\) -круговая частота колебаний. Рассмотрим движение произвольной точки диска, находящейся на расстоянии \(R\) от оси вращения. В произвольном положении ее ускорение складывается из двух составляющих: тангенциальной \(\vec{a}_{\tau}\) - направленной по касательной к траектории и связанной с изменением модуля скорости движения; нормальной \(\vec{a}_n\) - направленной к центру вращения и связанной с изменением направления вектора скорости, которая в данном случае является центростремительным ускорением. Из закона движения (1) следует, что угловая скорость вращения изменяется по закону \(\Omega = -\omega \varphi_0 \sin \omega t\), а угловое ускорение

\[\beta = -\omega^2 \varphi_0 \cos \omega t.\]

В положениях максимального отклонения скорости рассматриваемой точки равны нулю, поэтому равно нулю и нормальное ускорение. Следовательно, в этих положениях полное ускорение совпадает с тангенциальным

\[a_1 = a_{\tau} = R\beta = -R\omega^2 \varphi_0.\tag{2}\]

При прохождении положения равновесия скорость точки максимальна, поэтому тангенциальное ускорение равно нулю, а полное ускорение равно нормальному

\[a _ { 2 } = a _ { n } = R \varOmega ^ { 2 } = R \omega ^ { 2 } \varphi _ { 0 } ^ { 2 } .\tag{3}\]

Приравнивая модули ускорений \(a _ { 1 } , a _ { 2 }\) находим, что требуемое условие будет выполняться для произвольной точки диска при единичной угловой амплитуде колебаний \(\varphi _ { 0 } = 1 \text{рад} \approx 5 7 ^ { \circ }\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.