Шарик в жёлобе

Шарик отрывается там, где сила реакции жёлоба обращается в нуль. Запишите второй закон Ньютона по радиусу в этой точке и закон сохранения энергии.

Пусть \(\alpha\) — угол между вектором скорости и вертикалью, \(v\) — скорость в момент отрыва. Условие отрыва \(N=0\) и закон сохранения энергии: \[N=m\left(\frac{v^2}{R}-g\sin\alpha\right)=0, \qquad \frac{mv_0^2}{2}=mg\cdot 2R=mgR(1+\sin\alpha)+\frac{mv^2}{2}.\] Отсюда \(2g-3g\sin\alpha=0\) и \(\dfrac{v^2}{R}=2g-2g\sin\alpha\), так что \(\sin\alpha=\dfrac{2}{3}\). Высота \[h=R+R\sin\alpha=\frac{5}{3}R.\] Ответ: \(h=\dfrac{5}{3}R\).