Бусинка на вертикальном кольце
3/10В вертикальной плоскости закреплено круглое кольцо радиусом \(R\), на которое в верхней точке надета бусинка массой \(m\). После небольшого толчка бусинка начинает соскальзывать вниз по кольцу под действием силы тяжести. Всеми силами трения можно пренебречь.
С какой силой бусинка давит на кольцо в точке, лежащей на его горизонтальном диаметре?
Чему равен модуль импульса бусинки в момент, когда она не давит на кольцо?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость на любой высоте даёт закон сохранения энергии, а сила реакции входит во второй закон Ньютона для движения по окружности. «Не давит на кольцо» означает нулевую силу реакции.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(F = 2mg\), сила направлена по радиусу от центра кольца; 2) \(p_0 = m\sqrt{\dfrac{2}{3}\,gR}\).
Шарик на нити и на стержне
3/10Маленький шарик, подвешенный на нити, может вращаться в вертикальной плоскости вокруг оси \(O\). Экспериментатор обнаружил, что наименьшая скорость, которую нужно сообщить шарику, чтобы он достиг верхней точки траектории (точки \(A\)), равна \(v_1\). Затем экспериментатор заменил нить лёгким стержнем той же длины, который может без трения вращаться вокруг оси \(O\). Какую минимальную скорость нужно сообщить шарику теперь, чтобы он достиг точки \(A\)?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНить не может толкать шарик, а стержень может. Какая скорость в верхней точке минимально возможна в каждом случае?
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(v_2 = \dfrac{2}{\sqrt5}\,v_1\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеЧтобы шарик, подвешенный на нити, достиг точки \(A\), нить должна быть в процессе движения натянута. Наименьшей скорости соответствует случай, когда в точке \(A\) нить не натянута и на шарик действует одна сила — сила тяжести. Запишем 2 закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось: \[mg = m\frac{v_A^2}{R}.\] Запишем закон сохранения энергии: \[\frac{mv_1^2}{2} = 2mgR + \frac{mv_A^2}{2} \;\Longrightarrow\; v_1^2 = 5gR.\] В случае стержня сумма всех сил, действующих на шарик в точке \(A\), может быть равна нулю (шарик опирается на стержень). Скорость при этом в точке \(A\) будет равна нулю. Запишем закон сохранения энергии: \[\frac{mv_2^2}{2} = 2mgR \;\Longrightarrow\; v_2^2 = 4gR \;\Longrightarrow\; v_2 = \frac{2}{\sqrt5}\,v_1 .\]
Шайба в желобе
5/10
Шероховатая плоская полоса, наклонённая под углом \(\alpha = \arccos(0{,}8) \approx 36{,}87^\circ\) к горизонту, без перегиба переходит в гладкий желоб в форме окружности радиусом \(R = 30\) см (см. рисунок). С какой минимальной высоты (над нижней точкой желоба) надо отпустить соскальзывать по полосе без начальной скорости небольшую шайбу, чтобы она проехала по желобу, не отрываясь от него? Коэффициент трения между шайбой и плоской полосой \(\mu = 0{,}375\). Ответ выразите в сантиметрах и округлите до целого значения.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВ верхней точке желоба сила реакции опоры должна быть не меньше нуля; работа трения на полосе зависит от длины спуска, а значит, от высоты.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(144\) см.
На нитке
5/10Маленький шарик массой \(m\) висит неподвижно на невесомой нерастяжимой нити длиной \(L = 75\) см. Шарику толчком сообщают такую горизонтальную скорость, что при последующем движении он поднимается над начальной точкой на высоту, меньшую \(L\), а минимальная сила натяжения нити оказывается равна \(mg/2\). На какой высоте \(h\) (считая от начальной точки) находится шарик в тот момент времени, когда сила натяжения нити оказывается равна \(mg\)? В ответе на вопрос укажите номер столбца таблицы, в котором стоит значение, наиболее близкое к найденному вами.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНатяжение минимально в верхней точке траектории, где скорость равна нулю. Свяжьте силу натяжения с углом отклонения нити и скоростью через второй закон Ньютона вдоль нити и закон сохранения энергии.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветОтвет 3: 25 см.
Шайба на гладком полушаре
3/10Шайба соскальзывает с вершины неподвижного полушара: из ЗСЭ скорость на угле α, радиальное и тангенциальное уравнения Ньютона дают силу давления N = mg(3cosα − 2) и aτ = g sinα; по заданному aτ или N находят угол, а по нему — вторую величину. (варианты 1–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Груз на нити в вертикальной плоскости
3/10Натяжение нити известно в одной точке окружности; по второму закону Ньютона и сохранению энергии находят натяжение в другой (варианты 1–2: из верхней точки в нижнюю и обратно).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Груз на верёвке — полный оборот
3/10Для полного оборота нить должна оставаться натянутой в верхней точке: T≥0 даёт минимальную скорость там, а закон сохранения энергии — скорость в нижней точке.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шайба в круглом жёлобе
3/10Шайба в вертикальном круговом жёлобе: наибольшая и наименьшая силы давления отличаются на 6mg; энергия и второй закон на концах диаметра дают наименьшую силу.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Натяжение нити на окружности в вертикальной плоскости
3/10Наибольшая и наименьшая силы натяжения связаны энергией и вторым законом; по их отношению находится натяжение в горизонтальном положении нити относительно наибольшего.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Отрыв от полусферы
4/10В момент отрыва сила реакции равна нулю, а скорость берётся из закона сохранения энергии при спуске на 20 см; найти радиус.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шарик на нити по вертикальной окружности
4/10Начальная скорость кратна минимальной скорости для полной окружности; закон сохранения энергии и второй закон Ньютона по радиусу дают высоту, где натяжение в n раз больше силы тяжести.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Тело на нити в вертикальной плоскости
5/10Скорости в нижней и верхней точке отличаются вдвое; через энергию и второй закон найти минимальное по модулю ускорение.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шайба на полусфере
5/10Шайба соскальзывает с вершины гладкой полусферы и отрывается (cosθ=2/3), затем падает; по высоте падения находят радиус и силу давления шайбы на полусферу при старте. (варианты с разными числами)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Полуокружный жёлоб с трением
5/10На шероховатом участке шайба движется с постоянной скоростью (трение уравновешивает касательную составляющую силы тяжести); коэффициент трения в заданной точке через нормальную реакцию.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Скольжение по полусфере, гладкая и шероховатая половины
5/10Тело соскальзывает по гладкой половине полусферы и переходит на шероховатую; по энергии найти скорость, затем тангенциальное и нормальное ускорения и полное. Регионы.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шарики на цилиндре
5/10Нить с шариками m<M на гладком цилиндре: энергия даёт скорость v(φ), второй закон Ньютона — силу давления N(φ); из N=0 при заданном угле отрыва находят M/m, а максимум давления — из нуля производной dN/dφ и скорость в этот момент (варианты 1–5).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Бусинка на кольце
6/10Две бусинки соскальзывают без трения с вершины стоящего кольца; из энергии и второго закона Ньютона для движения по окружности найти силу давления бусинок на кольцо и условие, когда её вертикальная составляющая превысит вес кольца и оно оторвётся.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Раздельный вылет
6/10Два касающихся шарика движутся по U-образной трубке без трения; на повороте внешний прижимается к стенке и шарики расходятся (энергия, импульс, силы в контакте); найти скорости u, при которых один вылетит по верхнему колену, другой по нижнему.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Брусок на полусфере и трение стола
6/10Брусок скользит по неподвижной полусфере; сила его давления зависит от угла, и из условия покоя полусферы по максимуму горизонтальной составляющей находится минимальный коэффициент трения (варианты 1–2).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Полусфера на столе с трением
6/10Брусок скользит с полусферы без трения о неё, полусфера со стороны стола удерживается трением; по условию начала скольжения при заданном угле и отношении масс находится коэффициент трения (варианты 1–4).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Заряд на нити и импульс поля
6/10Короткий импульс горизонтального поля сообщает телу скорость; условие прохождения верхней точки окружности на нити с минимальной скоростью и закон сохранения энергии дают минимальное E.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шарик на кольце, закреплённом на бруске
6/10Шарик скользит по вертикальному кольцу бруска, стоящего у стенки: в момент, когда брусок перестаёт давить на стенку, найти ускорение и перемещение шарика; затем после отрыва от стенки — наибольшую скорость бруска из сохранения горизонтального импульса и энергии (варианты 3–4).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Сферическая горка
7/10Шайба скользит по четверти сферы с коэффициентом трения µ = tg α; из уравнений движения вдоль и поперёк траектории найти время спуска, работу трения и условие безотрывного движения по v0.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Отрыв бруска от подвижной полусферы
8/10Брусок соскальзывает с гладкой подвижной полусферы; сохранение горизонтального импульса, закон сложения скоростей и ускорений, условие N=0 при отрыве и энергия дают отношение масс по углу отрыва.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шарики на нитях и полный оборот
6/10На одинаковых нитях подвешены практически в одной точке два маленьких, упругих шарика массами \(m\) и \(M\) (\(m < M\)). Их отводят в разные стороны, отклоняя натянутые нити от вертикали на \(90°\), и отпускают. При каком максимальном отношении масс шариков \(\dfrac{m}{M}\) один из них после отскока сможет сделать полный оборот так, чтобы нить всё время оставалась натянутой?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорости шариков в нижней точке равны по модулю, найдите их из закона сохранения энергии; после упругого удара вычислите скорость лёгкого шарика и сравните с минимальной скоростью, нужной для полного оборота на нити.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(0{,}55\).
Шайба в жёлобе с дугой
5/10Шайба въезжает в гладкий жёлоб с дугой; в зависимости от скорости она либо не поднимется выше R, либо оторвётся и полетит по параболе, либо дойдёт до края; для каждого случая найти максимальную высоту. (варианты с разными числами)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Канат и петля в трубе
6/10Канат длиной 7R пускают по гладкой трубе с вертикальной петлёй радиуса R; минимальная скорость — когда канат заполняет петлю и скорость в верхней точке обращается в ноль, по энергии центра тяжести.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Поле цилиндра
7/10Заряды на проводящем цилиндре в однородном поле создают поле, совпадающее с полем внутри заряженной непроводящей трубы с тем же распределением плотности (единственность решения); затем движение заряженной бусины внутри трубы в поле тяжести: потенциальная энергия, максимальная скорость, условие полного оборота.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.