Шарик в колодце

На рисунке приведен вид сверху на траекторию движения шарика. Поскольку соударения шарика со стенкой и дном колодца упругие, модуль горизонтальной составляющей скорости шарика остается неизменным и равным \(v\). Расстояния по горизонтали между точками, в которых происходят два последовательных соударения, равны \(AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = \ldots = 2r\cos\alpha\). Время между двумя последовательными соударениями шарика со стенкой колодца равно \(t_1 = 2r\cos\alpha/v\).

Вертикальная составляющая скорости шарика при соударении со стенкой не изменяется, а при соударении с дном меняет знак на противоположный. Модуль вертикальной составляющей скорости при первом ударе о дно равен \(\sqrt{2gH}\), время движения от верха колодца до дна равно \(t_2 = \sqrt{2H/g}\).

На втором рисунке представлена плоская вертикальная развертка многогранника \(A_1A_2A_3\ldots\); участки траектории движения шарика внутри колодца на такой развертке — параболы (целые параболы — участки траектории между последовательными ударами о дно). Шарик сможет «выбраться» из колодца, если момент максимального подъема по параболе совпадает с моментом соударения со стенкой (т. е. в момент максимального подъема шарик окажется в точке \(A_n\) края колодца). При этом времена \(t_1\) и \(t_2\) будут связаны соотношением \[nt_1 = 2kt_2,\] где \(n\) и \(k\) — целые взаимно простые числа. Подставляя значения \(t_1\) и \(t_2\), находим соотношение между \(v\), \(H\), \(r\) и \(\alpha\), при котором шарик может «выбраться» из колодца: \[nr\cos\alpha/v = k\sqrt{2H/g}.\]