Доска на катушке

Пусть в некоторый момент времени доска касается катушки в точке \(C\). Скорость точки \(C\) складывается из скорости \(v_0\) оси катушки \(O\) и равной ей по модулю (проскальзывания нет) скорости точки \(C\) (относительно точки \(O\)), касательной к окружности в точке \(C\). Если угловая скорость доски в этот момент времени равна \(\omega\), то линейная скорость той точки доски, которая касается катушки, будет равна \(\omega R\operatorname{ctg}(\alpha/2)\) (см. рисунок). Поскольку доска все время касается катушки, скорость точки \(C\) относительно доски будет направлена вдоль доски, откуда \(\omega R\operatorname{ctg}(\alpha/2) = v_0\sin\alpha\). Из отсутствия проскальзывания катушки по горизонтальной поверхности следует, что

\[v_0/R = v/(R + r).\] Поэтому для угловой скорости \(\omega\) получим выражение \[\omega = \dfrac{v}{R + r}\sin\alpha\cdot\operatorname{tg}\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{2v\sin^2(\alpha/2)}{(R + r)\cos(\alpha/2)}.\]