Диск в круглом вырезе

Условие качения без проскальзывания связывает углы: \(\theta=2\varphi\). Запишите координаты точки обода через \(\varphi\).

Траектории точек \(A\), \(B\), \(C\) — диаметры выреза (отрезки прямых). Максимальная скорость точек обода \(2v\) (в официальном решении не выписана).

9-1. Рассмотрим движение точки \(A\). Пусть она переходит в точку \(A_1\), \(D\) — новая точка касания выреза. При таком повороте колеса на угол \(\theta\) его центр сместится на угол \(\varphi\) относительно центра выреза. Так как качение происходит без проскальзывания, то длины дуг \(AD\) и \(A_1D\) равны, то есть

\[R\theta = 2R\varphi\]

или

\[\theta = 2\varphi.\]

Запишем координаты точки \(A_1\)

\[x = R\cos\varphi + R\cos(\theta - \varphi),\]

\[y = R\sin\varphi - R\sin(\theta - \varphi).\]

С учетом связи между углами \(\theta\) и \(\varphi\), получим

\[\begin{cases} x = 2r\cos\theta, \\ y = 0. \end{cases}\]

Таким образом, при изменении угла \(\varphi\) от \(0\) до \(2\pi\), \(x\) изменяется от \(2R\) до \(-2R\), а \(y\) при этом остается равным нулю. Иными словами траектория точки есть диаметр выреза, проходящий через точку. Аналогично можно показать, что траектории точек \(B\) и \(C\) также являются отрезками прямых (диаметрами). Какими, подумайте самостоятельно.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.