Качение без проскальзывания

Скорость точки — сумма скорости центра и скорости вращения вокруг центра; при качении без проскальзывания они равны по модулю.

1,4

Скорость точки обруча есть сумма скорости центра и скорости вращения вокруг центра.

1{,}4 м/с

Чтобы человек стоял неподвижно, где должен лежать его центр масс относительно оси ролика? Как связаны смещения оси и доски при качении без проскальзывания?

1) Центр масс человека смещается относительно доски на расстояние \(a = L_1 - L_2\) и на такое же расстояние смещается относительно земли. 2) Точка \(A\) смещается на расстояние \(2(L_1 - L_2)\).

Перейдите в систему отсчёта доски: там обруч катится без проскальзывания, и скорость каждой точки есть сумма скорости оси и скорости вращения вокруг оси. Затем вернитесь в лабораторную систему, прибавив скорость доски.

1) 13;  2) \(v_2 = \sqrt5\) м/с \(\approx 2{,}2\) м/с;  3) \(v_3 = \sqrt3\) м/с \(\approx 1{,}7\) м/с.

Скорость каждой точки катящегося обруча перпендикулярна отрезку, соединяющему её с точкой касания поверхности. Что из этого следует для углов между такими отрезками?

1) \(v_1 = v_0\sqrt3 = 3\) м/с;  2) \(v_2 = v_0 \approx 1{,}7\) м/с;  3) \(v_{21} = 2v_0 \approx 3{,}5\) м/с.

Обозначим через \(C\) точку, в которой обруч касается горизонтальной поверхности. Эта точка является мгновенным центром скоростей. Поскольку векторы \(\vec v_1\) и \(\vec v_2\) ортогональны, отрезки \(C1\) и \(C2\) перпендикулярны. Пусть точка \(O\) "— центр обруча, обозначим \(\angle OC1\) за \(\varphi\), тогда \(\angle OC2 = \dfrac{\pi}{2} - \varphi\). Отсюда имеем соотношение для определения угла \(\varphi\): \[\frac{v_1}{v_2} = \frac{2\omega R\cos\varphi}{2\omega R\sin\varphi} = \operatorname{ctg}\varphi .\] Произведение \(\omega R\) есть скорость оси обруча \(v_0\), поэтому искомые скорости равны: \[v_1 = 2\omega R\cos\varphi = 2v_0\cos\varphi = 2v_0\,\frac{\operatorname{ctg}\varphi}{\sqrt{1+\operatorname{ctg}^2\varphi}} = v_0\sqrt3, \qquad v_2 = v_0 .\] Вектор относительной скорости \(\vec v_{21}\) равен разности векторов \(\vec v_2\) и \(\vec v_1\). Поскольку эти два вектора ортогональны, абсолютная величина относительной скорости находится по теореме Пифагора: \(v_{21} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} = 2v_0\).

Мгновенный центр скорости катушки лежит в точке касания с горкой. Найдите скорость точки каната, с которой рабочий идёт вместе, и примените «золотое правило механики» (равенство работ) для выигрыша в силе.

\(V = \dfrac{2\pi R}{t}\left(1 + \dfrac{r}{R}\right) \approx 1{,}57\) м/с;  \(k = 10\left(1 + \dfrac{r}{R}\right) \approx 16{,}7\);  \(F = \dfrac{mg}{10\left(1 + r/R\right)} = 60\) Н;  \(P = FV \approx 94\) Вт.

Перейдите в систему отсчёта, поступательно движущуюся вместе с центром колеса: в ней все точки обода движутся по окружности. Не забудьте добавить ускорение этой системы.

\(a_A = a_B = \sqrt{5}\,a_0\).

В поступательно движущейся системе отсчёта, скорость которой совпадает со скоростью центра колеса, все точки движутся по окружностям. В отсутствие проскальзывания тангенциальное ускорение точек обода равно ускорению центра колеса относительно земли. Нормальное ускорение точек обода для указанного в условии момента времени также равно по величине \(a_0\). Следовательно, ускорение точки \(A\) в исходной системе отсчёта в рассматриваемый момент равно векторной сумме направленного вертикально вниз нормального ускорения \(a_0\) и горизонтального ускорения \(2a_0\) и составляет по величине \[a_A = \sqrt{a_0^2 + (2a_0)^2} = \sqrt{5}\,a_0 .\] Ускорение точки \(B\) в исходной системе отсчёта в рассматриваемый момент равно векторной сумме направленного вертикально вверх ускорения \(a_0\) и горизонтального ускорения \(2a_0\) и составляет по величине \(\sqrt{5}\,a_0\).

В системе отсчёта оси ускорение любой точки — сумма центростремительного и тангенциального вклада вращения и ускорения оси. Условие на точку \(C\) связывает угловую скорость и угловое ускорение.

1) \(2{,}2\) м/с\(^2\);  2) \(2{,}2\) м/с\(^2\).

Перейдите в систему отсчёта, связанную с осью колеса: там точка вращается по окружности с касательным и нормальным ускорениями. Ускорение точки в лабораторной системе обращается в нуль, когда эти два ускорения в сумме компенсируют ускорение оси.

\(t \approx 0{,}93\) с.

Конус обкатывается вокруг вертикальной оси через его вершину. Найдите период этого обращения и число оборотов конуса вокруг своей оси за этот период; снимок повторится, когда оба числа оборотов окажутся целыми.

\(T = \dfrac{5\pi\,(4L^2 - D^2)}{V L} = \dfrac{144\pi}{65}\ \text{с} \approx 7\) с.

При качении с постоянной скоростью ускорение точки обруча такое же, как при вращении вокруг оси в системе, движущейся со скоростью оси. Радиус кривизны найдите как \(v^2/a_\perp\).

a) \(r_A = 2\sqrt2 R \approx 40\) см;  b) \(r_B = 2R \approx 28\) см.

Ускорение точки \(A\) в системе, движущейся со скоростью оси, и в лабораторной системе одинаковое. Оно равно \(a_A = \omega^2 R\) и направлено горизонтально (\(\omega\) "— угловая скорость). Скорость точки \(A\) равна \(v_A = \omega R\sqrt2\) и направлена под углом \(\dfrac{\pi}{4}\) к горизонтали. Радиус кривизны траектории определяется из соотношения \[r_A = \frac{v_A^2}{a_A^{(\perp)}} = \frac{v_A^2\sqrt2}{a_A},\] где \(a_A^{(\perp)}\) "— проекция ускорения на направление, перпендикулярное скорости. Таким образом, ответ: \(r_A = 2\sqrt2 R \approx 40\) см.

Рассуждая так же, как в пункте a), можно получить для радиуса кривизны траектории точки \(B\) соотношение \[r_B = 4R\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\varphi}{2}\right),\] из которого следует ответ: \(r_B = 2R \approx 28\) см.

Радиус кривизны равен \(v^2/a_\perp\), где \(a_\perp\) — нормальная к траектории составляющая ускорения. Ускорение точки обруча проще найти в системе отсчёта, движущейся со скоростью оси.

1) \(r_A = 2\sqrt2 R \approx 40\) см;  2) \(r_B = 2R \approx 28\) см.

Ускорение точки \(A\) в системе, движущейся со скоростью оси, и в лабораторной системе одинаковое. Оно равно \(a_A = \omega^2 R\) и направлено горизонтально (\(\omega\) — угловая скорость). Скорость точки \(A\) равна \(v_A = \omega R\sqrt2\) и направлена под углом \(\pi/4\) к горизонтали. Радиус кривизны траектории определяется из соотношения \[r_A = \frac{v_A^2}{a_A^{(\perp)}} = \frac{v_A^2\sqrt2}{a_A},\] где \(a_A^{(\perp)}\) — проекция ускорения на направление, перпендикулярное скорости. Таким образом, ответ: \(r_A = 2\sqrt2 R \approx 40\) см.

Рассуждая так же, как в пункте a), можно получить для радиуса кривизны траектории точки \(B\) соотношение \[r_B = 4R\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\varphi}{2}\right),\] из которого следует ответ: \(r_B = 2R \approx 28\) см.

Где находится мгновенная ось вращения обруча, катящегося без проскальзывания? Как тогда связаны скорость центра обруча и скорость его нижней точки, и чему равна кинетическая энергия? Центр обруча движется по окружности.

1) \(V = 2\sqrt{g(R-r)(1-\cos\alpha)}\);  2) \(N = mg\,(2 - \cos\alpha)\).

Заметим, что центр масс обруча движется по окружности радиусом \(R - r\). Пусть скорость центра масс обруча при прохождении обручем положения равновесия равна \(v\). Скорость верхней точки обруча в этот момент равна нулю, поскольку обруч движется по бревну без проскальзывания. Таким образом, через верхнюю точку обруча проходит мгновенная ось вращения. Отсюда легко найти, что скорость нижней точки равна \(V = 2v\). Движение обруча в этот момент можно представить как движение центра масс со скоростью \(v\) и вращение всех точек обруча в системе отсчёта центра масс также со скоростью \(v\). Кинетическая энергия обруча при таком движении равна \(E_\text{к} = mv^2\). (Действительно, можно представить, что обруч сначала разогнали поступательно до скорости \(v\), совершив при этом работу \(mv^2/2\), а потом в системе отсчёта центра масс раскрутили его, разогнав обод до скорости \(v\), и совершив при этом работу, также равную \(mv^2/2\). Суммарная работа в итоге будет равна \(E_\text{к} = mv^2\).)

При переходе обруча из исходного отклонённого положения в нижнее положение его центр масс опустится на величину \[h = (R - r)(1 - \cos\alpha) .\] Приравнивая начальную потенциальную энергию обруча его конечной кинетической энергии, получаем: \[mv^2 = mgh .\] С учётом выражения для \(h\) имеем \(v^2 = g(R-r)(1-\cos\alpha)\), и \(v = \sqrt{g(R-r)(1-\cos\alpha)}\). Следовательно, искомая скорость нижней точки обруча при прохождении им положения равновесия равна \[V = 2v = 2\sqrt{g(R-r)(1-\cos\alpha)} .\] Для ответа на второй вопрос запишем уравнение движения центра масс для момента прохождения им нижней точки траектории в процессе движения по окружности радиусом \(R - r\). Центр масс имеет при этом центростремительное ускорение, и \[m a_\text{цс} = m\frac{v^2}{R - r} = mg(1 - \cos\alpha) = N - mg ,\] где \(N\) — сила, с которой бревно действует на обруч. В соответствии с третьим законом Ньютона обруч давит на бревно с такой же по модулю силой. Поэтому \[N = mg\,(2 - \cos\alpha) .\]

Перейдите в систему отсчёта автомобилей: в ней капли вылетают из-под колёс с одной и той же скоростью под разными углами. Какова наибольшая дальность полёта тела, брошенного с заданной скоростью?

\(r = \dfrac{v^2}{g} \approx 177\text{ м}\).

В системе отсчёта, связанной с автомобилями, искомое расстояние равно наибольшей дальности полёта капель, вылетающих из-под задних колёс со скоростями \(v\) под всевозможными углами \(\alpha\). Поскольку время полёта (подъёма и спуска) капли \(\tau = \dfrac{2v\sin\alpha}{g}\), дальность полёта \[l = v\tau\cos\alpha = \frac{v^2\sin 2\alpha}{g}.\] Она максимальна, очевидно, при \(\sin 2\alpha = 1\), так что \(r = \dfrac{v^2}{g} \approx 177\text{ м}\).