Циклоида и дрейф

Сила, меняющаяся по гармоническому закону, даёт то же движение, что и точка на ободе катящегося колеса; электрон в волне дрейфует из-за силы Лоренца от колебаний вдоль \(X\).

4.1) \(x=R(\omega t-\sin\omega t)\), \(y=R(1-\cos\omega t)\), \(\langle v\rangle=\omega R\); 4.2) \(\langle v_1\rangle=\dfrac{F_0}{m\omega}\), \(\langle v_2\rangle=0\); 4.3) \(v_x=\dfrac{eE_0}{m\omega}\sin\omega t\), \(\langle v_z\rangle=\Bigl(\dfrac{e}{2m\omega}\Bigr)^2E_0B_0\).

11.4 4.1 Пусть колесо повернулось на угол \(\varphi = \omega t\), при этом его центр сместился на расстояние \(x_0 = \omega R t\). Координаты точки \(A\) в этот момент будут определятся выражениями

\[\begin{cases} x = R(\omega t - \sin \omega t) \\ y = R(1 - \cos \omega t) \end{cases}.\tag{1}\]

Скорость точки \(A\) можно представить как сумму скоростей поступательного движения \(V = \omega R\), направленной горизонтально, и вращательного движения \(V = \omega R\), направленной по касательной к ободу колеса. Поэтому компоненты полной скорости точки \(A\) имеют вид

\[\begin{cases} V_x = \omega R(1 - \cos \omega t) \\ V_y = R \omega \sin \omega t \end{cases}.\tag{2}\]

Ускорение точки \(A\) является центростремительным, направленным к центру колеса. Модуль ускорения \(a = R\omega^2\), а его проекции на оси координат

\[\begin{cases} a_x = R\omega^2 \sin \omega t \\ a_y = R\omega^2 \cos \omega t \end{cases}\tag{3}\]

Заметим, что уравнения (2), (3) могут быть получены простым дифференцированием функций (1).

Понятно, что средняя скорость точки \(A\) направлена вдоль оси \(X\) и равна

\[\langle V \rangle = \omega R.\tag{4}\]

4.2 На основании второго закона Ньютона можно записать уравнения, описывающие ускорения точек

\[\begin{cases} a_1 = \dfrac{F_0}{m} \sin \omega t \\ a_2 = \dfrac{F_0}{m} \cos \omega t \end{cases}\tag{5}\]

Эти уравнения по форме совпадают с уравнениями (3), для большей наглядности перепишем их в виде

\[\begin{cases} a_1 = \dfrac{F_0}{m\omega^2} \omega^2 \sin \omega t \\ a_2 = \dfrac{F_0}{m\omega^2} \omega^2 \cos \omega t \end{cases}\tag{6}\]

Если обозначить \(\dfrac{F_0}{m\omega^2} = R\), то получим полное совпадение.

Причем, что немаловажно, совпадают и начальные условия — при \(t = 0\) координаты и скорости точек равны нулю. Следовательно, выражения для скоростей и ускорений будут теми же, что и в предыдущем пункте, поэтому нам достаточно переписать функции (2), (1), заменив в них \(R\) на \(\dfrac{F_0}{m\omega^2}\):

\[\begin{cases} V_1 = \dfrac{F_0}{m\omega} (1 - \cos \omega t) \\ V_2 = \dfrac{F_0}{m\omega} \sin \omega t \end{cases}\tag{7}\]

\[\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle x _ { 1 } = \frac { F _ { 0 } } { m \omega ^ { 2 } } ( \omega t - s i n \, \omega t ) } \\ { \displaystyle x _ { 2 } = \frac { F _ { 0 } } { m \omega ^ { 2 } } ( 1 - c o s \, \omega t ) } \end{array} \right. .\tag{8}\]

Продолжая аналогию между двумя задачами, сразу найдем

\[\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \langle V _ { 1 } \rangle = \frac { F _ { 0 } } { m \omega } \cdot } \\ { \displaystyle \langle V _ { 2 } \rangle = 0 } \end{array} \right.\]

4.3 На электрон в поле волны действуют

а) постоянная сила со стороны электрического поля \(e \vec { E }\), направленная вдоль оси \(X\);

б) со стороны магнитного поля сила Лоренца \(\vec { F } _ { \text{Л}}\), перпендикулярная вектору индукции магнитного поля, то есть параллельная плоскости \(XZ\).

Если считать, что в начальный момент времени электрон находился в начале координат и покоился, то траектория его дальнейшего движения будет лежать в плоскости \(XZ\). Учитывая, что модуль силы Лоренца равен \(F _ { \text{Л}} = eVB\), а направление этой силы перпендикулярно скорости, можно записать уравнения движения электрона на основании второго закона Ньютона

\[\left\{ \begin{array} { l l } { m a _ { x } = e E - e B V c o s \, \alpha = e E - e B V _ { z } } \\ { m a _ { z } = e B V s i n \, \alpha = e B V _ { x } } \end{array} \right. .\tag{10}\]

Так как в поле электромагнитной волны сила Лоренца значительно слабее электрической силы, то в первом уравнении системы (10) можно пренебречь вторым слагаемым. Тогда это уравнение примет вид

\[a _ { x } = \frac { e E _ { 0 } } { m } c o s \, \omega t \, ,\tag{11}\]

решение которого мы уже дважды записывали по ходу решения задачи. Поэтому воспроизведем здесь без комментариев

\[\begin{array} { l } { { V _ { x } = \displaystyle \frac { e E _ { 0 } } { m \omega } s i n \, \omega t } } \\ { { x = \displaystyle \frac { e E _ { 0 } } { m \omega ^ { 2 } } ( 1 - c o s \, \omega t ) } } \end{array} .\tag{12}\]

Подставим найденное выражение для компоненты скорости электрона \(V _ { x }\) во второе уравнение системы (10):

\[a _ { z } = \frac { e } { m } B _ { 0 } \cos \omega t \frac { e E _ { 0 } } { m \omega } \sin \omega t = \left( \frac { e } { m } \right) ^ { 2 } \frac { E _ { 0 } B _ { 0 } } { 2 \omega } \sin 2 \omega t \, .\tag{13}\]

Такое уравнение также решено нами ранее, поэтому

\[V _ { z } = \left( \frac { e } { 2 m \omega } \right) ^ { 2 } E _ { 0 } B _ { 0 } ( 1 - \cos 2 \omega t ) \, .\tag{14}\]

Средняя скорость дрейфа электронов определяется по формуле

\[\langle V _ { z } \rangle = \left( \frac { e } { 2 m \omega } \right) ^ { 2 } E _ { 0 } B _ { 0 } \, .\tag{15}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.