Цилиндр и клин на наклонных плоскостях

На цилиндр действуют: сила тяжести \(m_1g\), сила нормальной реакции \(N_1\) со стороны левой наклонной плоскости и сила нормальной реакции \(N_3\) со стороны клина (сила \(N_3\) направлена горизонтально). Запишем уравнение движения цилиндра в проекции на ось \(x_1\), направленную вдоль левой наклонной плоскости (см. рисунок):

\[m_1a_1 = m_1g\sin\alpha - N_3\cos\alpha, \tag{1}\] где \(a_1\) — проекция ускорения цилиндра на ось \(x_1\).

На клин действуют: сила тяжести \(m_2g\), сила нормальной реакции \(N_2\) со стороны правой наклонной плоскости и сила нормальной реакции со стороны цилиндра, которая, согласно третьему закону Ньютона, равна \(-N_3\). Запишем уравнение движения клина в проекции на ось \(x_2\), направленную вдоль правой наклонной плоскости: \[m_2a_2 = -m_2g\sin\alpha + N_3\cos\alpha. \tag{2}\] В процессе движения клин соприкасается с цилиндром; поэтому, если перемещение клина вдоль оси \(x_2\) равно \(\Delta x\), то центр цилиндра (вместе с вертикальной гранью клина) сместится по горизонтали на \(\Delta x\cos\alpha\). При этом вдоль левой наклонной плоскости (вдоль оси \(x_1\)) центр цилиндра сместится на \(\Delta x\). Это означает, что в процессе движения клина и цилиндра выполняется соотношение \[a_1 = a_2. \tag{3}\] Решая совместно уравнения (1)–(3), найдем силу \(N = N_3\), с которой клин давит на цилиндр: \[N_3 = [2m_1m_2/(m_1 + m_2)]\operatorname{tg}\alpha.\]