Самолёт на вираже

Рассмотрим движение самолета, начиная с момента его перехода на круговую траекторию (см. рисунок). По условию задачи в верхней точке траектории \(B\) скорость самолета равна \(v_1 = v_0/2\), поэтому радиус \(r\) описываемой самолетом окружности найдем из соотношения

\[v_0^2/4 = v_0^2 - 2a_0\cdot 2r,\] которое получается из закона движения самолета при \(h = 2r\). Для точки траектории \(C\), где скорость самолета направлена вверх, общее ускорение будет складываться из центростремительного ускорения \(a_\text{ц} = v_C^2/r\) (\(v_C^2 = v_0^2 - 2a_0r\), где \(v_C\) — скорость самолета в точке \(C\)) и тангенциального ускорения \(a_t\) (это ускорение отвечает за изменение модуля скорости).

Чтобы найти тангенциальное ускорение, рассмотрим небольшое перемещение самолета из точки \(C\) в точку \(C'\). Тогда \(v_{C'}^2 = v_0^2 - 2a_0(r + \Delta h)\). Поэтому \(v_{C'}^2 - v_C^2 = -2a_0\Delta h\), где \(\Delta h\) — изменение высоты самолета при перемещении его в точку \(C'\). Разделим обе части полученного соотношения на тот промежуток времени \(\Delta t\), за который это перемещение произошло: \[(v_{C'}^2 - v_C^2)/\Delta t = -2a_0\Delta h/\Delta t.\] Тогда, устремим точку \(C' \to C\) и \(\Delta t \to 0\), получим \[2v_Ca_t = -2a_0v_C.\] Отсюда \(a_t = -a_0\). Общее ускорение самолета в момент, когда его скорость направлена вертикально вверх, получим в виде \[a = \sqrt{a_0^2 + (v_C^2/r)^2} = a_0\sqrt{109}/3.\]