Сани на песке

Сила трения саней с грузом \(F_{\text{тр}}(x)\) прямо пропорциональна длине \(x\) въехавшей на песок части саней; запишем уравнение движения саней при их торможении по песку в первом случае: \[ma = -mg(x/l)\mu,\] где \(m\) — масса, \(a\) — ускорение, \(l\) — длина, \(\mu\) — коэффициент трения саней о песок. Как и в решении задачи 1.29, мы получили «уравнение колебаний». Поэтому торможение саней при въезде на песок соответствует движению груза на пружине (жесткости \(k = (mg/l)\mu\)), которому сообщили в положении равновесия скорость \(v_0\). Тогда зависимость от времени въехавшей на песок части саней \(x(t)\) и их скорость \(v(t)\) получим в виде \[x(t) = x_0\sin\omega_0t,\quad v(t) = v_0\cos\omega_0t,\] причем \[x_0 = v_0/\omega_0,\quad \omega_0 = \sqrt{k/m} = \sqrt{(g/l)\mu}.\] Нетрудно понять, что время до полной остановки саней равно четверти «периода колебаний»; таким образом, \[t_1 = \pi/(2\omega_0) = (\pi/2)\sqrt{l/(\mu g)}.\] Во втором случае (после резкого толчка) движение можно рассматривать, как если бы сани, въезжая на песок, имели скорость \(v_1 > v_0\) и, пройдя расстояние \(x_0\), затормозились до скорости \(v_0\) (с этого момента и наступает второй случай). При этом интересующее нас движение саней после толчка предстанет в виде части общего колебательного движения по закону \[x(t) = x_1\sin\omega_0t,\quad v(t) = v_1\cos\omega_0t\] с момента времени \(t_2\), когда скорость саней стала равной \(v_0\). Как и прежде, \(x_1 = v_1/\omega_0\). Кроме того, \[[mg/(2l)]\,\mu x_0^2 = mv_1^2/2 - mv_0^2/2;\] отсюда \(v_1 = x_0\omega_0\sqrt2\).

После толчка сани пройдут путь \[x_1 - x_0 = v_1/\omega_0 - v_0/\omega_0 = (1/\omega_0)(v_1 - v_0) = x_0(\sqrt2 - 1).\] Следовательно, отношение путей торможения равно \[(x_1 - x_0)/x_0 = \sqrt2 - 1.\] Для нахождения времени движения саней после толчка мы должны определить время движения саней от положения \(x_0\) до положения \(x_1\), используя формулу \(x(t) = x_1\sin\omega_0t\). Для этого найдем \(t_2\) по формуле \[x_0 = x_1\sin\omega_0t_2.\] Так как \(x_1 = \sqrt2\,x_0\), то \(\omega_0t_2 = \pi/4\). Следовательно, \(t_2 = \pi/(4\omega_0) = t_1/2\). Поскольку \(t_3 = t_1 - t_2\), где \(t_3\) — время движения саней после толчка, получим искомое соотношение: \[t_3/t_1 = 1/2.\]