Грузы на гладком столе

Нить может только тянуть. Подумайте, каким может быть направление ускорения груза 2, и проверьте, проскальзывают ли грузы 3 и 4 друг по другу. Затем рассмотрите два случая: между грузами 1 и 2 трение покоя и скольжение.

Если \(F\le F_*=\dfrac{2km(M+m)}{2m+M}\,g\), то все четыре груза движутся с одним ускорением \(a=\dfrac{F}{2(M+m)}\). Если \(F>F_*\), то \(a_1=\dfrac{F-kmg}{M}\), а \(a_2=a_3=a_4=\dfrac{kmg}{2m+M}\).

Что происходит. Тянем только груз 1. Он увлекает за собой груз 2 силой трения. Нить связывает грузы 2 и 3, поэтому они движутся вместе, а груз 3 силой трения тянет за собой груз 4. Пока трение между 1 и 2 может передать нужную силу (сила трения покоя не больше \(kmg\)), все грузы едут как одно тело; когда \(F\) слишком велика, груз 1 уходит вперёд, проскальзывая под грузом 2.

Обозначения. Ось \(x\) направлена вправо, по движению; \(a_1,\ldots,a_4\) — проекции ускорений грузов на неё. \(F_1\) — модуль силы трения между 1 и 2, \(F_2\) — между 3 и 4, \(T\) — натяжение нити. Нить нерастяжима и натянута, поэтому \(a_2=a_3\equiv a\).

1. Что допустим. Допустим, что груз 3 не проскальзывает по грузу 4, и \(a_4=a\). В конце проверим это. Допустим также, что нить натянута (\(T\ge0\)).

2. Случай 1: между грузами 1 и 2 трение покоя. Тогда \(a_1=a_2=a\), и все четыре груза движутся с одним ускорением. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось \(x\) для каждого груза (сила трения, действующая на груз, и сила, с которой он действует на соседа, равны по модулю — третий закон Ньютона): \[\begin{aligned} &\text{груз 1: } F-F_1=Ma,\\ &\text{груз 2: } F_1-T=ma,\\ &\text{груз 3: } T-F_2=ma,\\ &\text{груз 4: } F_2=Ma. \end{aligned}\] Сложим четыре уравнения: внутренние силы взаимно уничтожаются, остаётся второй закон Ньютона для системы масс \(2(M+m)\): \[F=2(M+m)\,a\quad\Rightarrow\quad a=\frac{F}{2(M+m)} .\] Из первого уравнения \(F_1=F-Ma=F\,\dfrac{2m+M}{2(M+m)}\).

3. Когда справедлив случай 1. Трение покоя не превосходит \(kmg\): \(F_1\le kmg\). Отсюда \[F\le F_*=\frac{2km(M+m)}{2m+M}\,g .\] Обратите внимание: в статье в этом месте стоит знак «\(\ge\)» — это описка. При малых \(F\) грузы не проскальзывают, а проскальзывание возникает при больших силах: при \(F\to0\) система едет как целое.

4. Случай 2: \(F>F_*\), груз 2 скользит по грузу 1. Сила трения между ними теперь \(kmg\) (трение скольжения), груз 1 быстрее, поэтому на груз 2 она направлена вперёд, на груз 1 — назад: \[\text{груз 1: } F-kmg=Ma_1\ \Rightarrow\ a_1=\frac{F-kmg}{M}.\] Грузы 2, 3, 4 по-прежнему едут вместе (нить, трение покоя между 3 и 4). Для этой системы массы \(2m+M\) внешняя горизонтальная сила одна — \(kmg\) от груза 1: \[kmg=(2m+M)\,a_2\ \Rightarrow\ a_2=a_3=a_4=\frac{kmg}{2m+M}.\]

5. Проверка допущений. Груз 4 ускоряется только силой трения от груза 3: \(F_2=Ma_4\le M\,\dfrac{kmg}{2m+M}<kmg\) как в случае 1 (там \(a\le\dfrac{kmg}{2m+M}\)), так и в случае 2, значит, трение покоя между 3 и 4 справляется. Натяжение нити в случае 2: из уравнения груза 3 \(T=F_2+ma_2=\dfrac{kmg(M+m)}{2m+M}>0\); в случае 1 \(T=(M+m)a>0\). Допущения выполнены.

Ответ. При \(F\le\dfrac{2km(M+m)}{2m+M}\,g\): \(a_1=a_2=a_3=a_4=\dfrac{F}{2(M+m)}\). При \(F>\dfrac{2km(M+m)}{2m+M}\,g\): \(a_1=\dfrac{F-kmg}{M}\), \(a_2=a_3=a_4=\dfrac{kmg}{2m+M}\).

Проверка. Размерность: \(F/M\) и \(kg\) — ускорения. На границе \(F=F_*\) обе формулы дают одно значение: \(F_*-kmg=\dfrac{kmgM}{2m+M}\), откуда \(a_1=\dfrac{kmg}{2m+M}=a_2=\dfrac{F_*}{2(M+m)}\). На графике (пример: \(M=2\) кг, \(m=1\) кг, \(k=0{,}3\), \(F_*=4{,}5\) Н) кривая \(a_1(F)\) непрерывна, а ускорение трёх грузов при \(F>F_*\) уже не растёт: больше силы трения \(kmg\) на них не передать.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.