Полусферы с динамометром

Чашки откачаны и прижаты к крышкам давлением воздуха. С какой силой воздух давит на куполообразную полусферу? Пока чашка прижата, чему равна сила, действующая на динамометр?

\(T_{\max}=p_0\pi R^2\approx1{,}3\cdot10^4\text{ Н}\) (около \(1{,}3\) тонны-силы).

Что происходит. По рисунку полусферы — пустые чашки, закрытые плоскими крышками; внутри разрежение (как у магдебургских полушарий), снаружи воздух при давлении \(p_0\). Воздух прижимает чашку к крышке, и пока \(F\) меньше этой силы давления, чашка и крышка составляют одно тело. Когда \(F\) превысит силу давления воздуха на чашку, она оторвётся, и динамометр больше не нагружается.

Обозначения. \(S=\pi R^2\) — площадь круга, по которому чашка касается крышки, \(p_0=1\text{ атм}\approx1{,}0\cdot10^5\text{ Па}\), \(T\) — показание динамометра, \(N\) — сила, с которой крышка давит на обод чашки. Давление внутри чашки считаем равным нулю.

1. Чашка с крышкой как одно тело. Воздух давит на закрытое тело со всех сторон, и равнодействующая сил давления равна нулю. Остаются сила \(F\) и сила \(T\) со стороны динамометра. В равновесии вдоль оси \(T=F\): динамометр показывает \(F\), пока чашка прижата.

2. Сила давления воздуха на купол. Сила давления на каждый малый участок сферы направлена по нормали; боковые составляющие по симметрии уничтожаются. Осевая составляющая равнодействующей равна \(p_0\), умноженному на площадь проекции купола на плоскость обода, то есть \(p_0S=p_0\pi R^2\), и направлена к крышке.

3. Когда чашка отрывается. Для одной чашки второй закон Ньютона в проекции на ось: \(p_0S=F+N\). Крышка может только давить, поэтому \(N\ge0\) и \(F\le p_0S\). При \(F=p_0S\) имеем \(N=0\): воздух больше не прижимает обод, и чашка отрывается. До этого момента \(T=F\), значит, наибольшее показание \[T_{\max}=p_0\pi R^2=1{,}0\cdot10^5\text{ Па}\cdot3{,}14\cdot(0{,}2\text{ м})^2\approx1{,}3\cdot10^4\text{ Н}.\] Обратите внимание: динамометр показывает \(F\), а не \(p_0S\) при любой \(F\), и значение \(p_0S\) — только предел, до которого \(F\) вообще можно довести. Динамометр находится в воздухе, и давление на него уравновешено.

Ответ. \(T_{\max}=p_0\pi R^2\approx1{,}3\cdot10^4\text{ Н}\).

Проверка. Размерность: \(\text{Па}\cdot\text{м}^2=\text{Н}\). Второй способ: \(1\text{ атм}\approx10\text{ Н/см}^2\), \(S=\pi\cdot20^2\approx1260\text{ см}^2\), \(T_{\max}\approx1{,}26\cdot10^4\text{ Н}\). Предел: при \(R\to0\) или \(p_0\to0\) (в вакууме) чашку ничто не удерживает, \(T_{\max}\to0\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.