Масса атмосферы планеты
4/10Оцените массу атмосферы планеты по следующим данным: давление у поверхности планеты \(9\text{ МПа}\), радиус планеты \(6000\text{ км}\), ускорение свободного падения у поверхности \(9{,}42\text{ м/с}^2\). Площадь поверхности сферы радиуса \(R\) равна \(4\pi R^2\). Приведённые в условии параметры близки к характеристикам Венеры.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДавление у поверхности создаётся весом всего столба атмосферы над единицей площади.
Масса атмосферы планеты
4/10Оцените массу атмосферы планеты по следующим данным: давление у поверхности планеты 150 кПа, радиус планеты 3000 км, ускорение свободного падения у поверхности \(1{,}57\) м/с\(^2\). Площадь поверхности сферы радиуса \(R\) равна \(4\pi R^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДавление у поверхности создаётся весом столба атмосферы над единицей площади; толщина атмосферы мала по сравнению с радиусом планеты.
Вакуумная автопоилка
2/10Пока уровень воды в корытце выше трубки, под пробкой резервуара разрежение и атмосферное давление удерживает воду; когда уровень падает, воздух входит по трубке и вода вытекает до восстановления уровня.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Поршневой насос и ртуть
3/10Ртуть под поршнем поднята на 50 см, давление под ним меньше атмосферного на ρgh; сила, с которой тянут поршень, равна этой разности давлений на площадь сечения.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Поршень в трубе над водой, связанный с грузом
3/10Лёгкий поршень на воде в вертикальной трубе удерживается нитью через блок с грузом, вода поднялась на H; давление под поршнем — из разности с атмосферным и гидростатики, масса груза — из равновесия поршня, затем новое равновесие при добавлении гири. (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Вращающаяся трубка
5/10Замкнутая трубка с воздушным столбиком вращается вокруг оси; в системе вращения центробежная сила создаёт градиент давления в ртути, высота подъёма ртути в отводе меняется на ρω²R²/2g, а давление воздуха изотермически меняется в n раз — найти ω.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Двойной сифон Герона
5/10Стакан с отверстием, вставленная трубка и колпак с подтекающим краем: после быстрого налива сифон срабатывает и вода выливается, пока воздух не попадёт под колпак; объяснить циклическое поведение через атмосферное давление и перепад столбов.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Зонд
4/10Экспериментатор Глюк сконструировал атмосферный зонд, состоящий из шара объёмом \(V = 20\) м\(^3\), заполненного гелием при давлении \(p_0 = 100\) кПа и температуре \(T_0 = 300\) К, и подвешенного к нему набора метеорологических датчиков.
При какой максимальной массе датчиков зонд сможет подняться на высоту 4 км?
На какую максимальную высоту сможет подняться такой шар без датчиков?
График зависимости давления воздуха от высоты над поверхностью земли представлен на рисунке. Считайте, что температура воздуха линейно уменьшается с высотой от 300 К (у поверхности Земли) до 220 К (на высоте 10 км). Оболочка шара является тонкой, нерастяжимой и непроницаемой для газов. Температуру газа внутри шара считать равной температуре окружающего воздуха. Объёмом датчиков при расчётах можно пренебречь. Масса оболочки шара равна \(m_0 = 8\) кг, молярная масса гелия \(M_\text{г} = 4\) г/моль, молярная масса воздуха \(M_\text{в} = 29\) г/моль, универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}31\) Дж/(К\(\cdot\)моль).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаМасса гелия в шаре при подъёме не меняется, а сила Архимеда определяется плотностью воздуха \(pM_\text{в}/(RT)\) на данной высоте. Во втором пункте условие равновесия превращается в линейную зависимость \(p(h)\) — её удобно нарисовать поверх графика.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_\text{д} = \dfrac{p_1 M_\text{в} V}{RT_1} - \dfrac{p_0 M_\text{г} V}{RT_0} - m_0 \approx 4{,}9\) кг; 2) \(h_{max} \approx 7{,}6\) км.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеТемпература падает с высотой со скоростью \(k = 8\) К/км. На высоте \(h_1 = 4\) км, следовательно, температура равна \(T_1 = 268\) К, а давление (по графику) \(p_1 \approx 62\) кПа. Плотность воздуха на этой высоте равна \[\rho_\text{в1} = \frac{p_1 M_\text{в}}{RT_1}.\] Масса гелия в шаре \(m_\text{г}\) в процессе подъёма не меняется, поэтому \[m_\text{г} = \frac{p_0 M_\text{г} V}{RT_0}.\] Запишем условие равновесия зонда на заданной высоте: \[\rho_\text{в1} g V = (m_\text{г} + m_0 + m_\text{д})g,\] откуда \[m_\text{д} = \rho_\text{в1} V - m_\text{г} - m_0 = \frac{p_1 M_\text{в} V}{RT_1} - \frac{p_0 M_\text{г} V}{RT_0} - m_0 = 4{,}9\text{ кг}.\]
Без датчиков шар будет подниматься, пока не станет справедливым новое условие равновесия \[\rho_\text{в} g V = (m_\text{г} + m_0)g.\] Отсюда следует, что \[\frac{p(h) M_\text{в}}{RT(h)} = \frac{m_\text{г} + m_0}{V} \;\Rightarrow\; p(h) = \frac{(m_\text{г} + m_0)R}{M_\text{в} V}\cdot(T_0 - kh) \approx 48\text{ кПа} - 1{,}3\,\frac{\text{кПа}}{\text{км}}\cdot h.\] Для нахождения высоты построим поверх графика зависимости \(p(h)\) прямую, соответствующую полученному уравнению, и найдём, что максимальная высота равна примерно 7,6 км.
Примечание: на графике (толстая линия) изображена функция \(p(h) = p_0(1 - kh/T_0)^{\frac{M_\text{в} g}{kR}}\), задающая распределение давления по высоте при зависимости температуры \(T(h) = T_0 - kh\).
Герметичный куб с пробоиной
5/10Тонкостенный герметичный куб массой 1 кг плавает на поверхности воды. Длина ребра куба равна 50 см. При каком минимальном давлении воздуха внутри куба он не утонет, получив пробоину в дне? Ускорение свободного падения считайте равным 10 м/с\(^2\). Атмосферное давление равно 1 атм. Плотность воды равна 1 г/см\(^3\). Ответ выразите в кПа, округлите до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПосле пробоины внутрь заходит вода, пока давление сжатого воздуха не уравновесится давлением воды на уровне дна. Запишите условие равновесия куба по вертикали.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ0{,}8 кПа.
Загогулина
6/10Изогнутая в трех местах металлическая трубка состоит из четырех прямых параллельных участков: трех — одинаковой длины \(l\) и четвертого, длина которого существенно больше (см. рисунок). Длина изогнутых участков трубки мала по сравнению с \(l\), их объемом можно пренебречь. Площадь внутреннего сечения трубки \(S\), поперечные размеры трубки также много меньше \(l\). Трубка установлена вертикально открытыми концами вверх. В самое длинное колено начинают медленно наливать воду.
Плотность воды — \(\rho\), атмосферное давление \(p_0\), ускорение свободного падения \(g\). Все процессы в трубке протекают при постоянной температуре. Капиллярными эффектами и влиянием колебаний уровня воды можно пренебречь.
До какой высоты вода заполнит левое колено трубки к моменту, когда она начнет вытекать из крайнего правого колена? Считайте, что из левого колена вода не вытекает.
Какой объем воды будет находиться в трубке в этот момент?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаКогда вода перельётся через верх второго колена и закроет низ между третьим и четвёртым, в третьем колене окажется запертый воздух. Запишите равновесие давлений для пар колен и закон Бойля — Мариотта для этой «пробки».
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(H = l + \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{l_0^2 + 4l_0 l} - l_0\right)\), где \(l_0 = \dfrac{p_0}{\rho g}\); 2) \(V = 4Sl\).
▶РешениеСкрыть: решение
Решение
После заполнения водой второго слева вертикального участка, вода начнет стекать в третье колено, заполнит перемычку внизу между третьим и четвёртым и «отсечёт» воздух в третьем колене от атмосферного. Образуется воздушная «пробка», давление \(p\) внутри которой по мере заполнения четвёртого колена будет возрастать. Запишем условия равновесия (равенства давлений) для первого и второго вертикальных участков трубки: \[p_0 + \rho gH = p + \rho gl. \tag{1}\] Для третьего и четвертого \[p_0 + \rho gl = p + \rho g(l - x).\] Вычитая эти уравнения, получим \[H - l = x.\] Поскольку воздух внутри трубки начал сжиматься от объёма, соответствующего одному вертикальному участку, то по закону Бойля — Мариотта: \[p_0 lS = pxS.\] Из последних двух уравнений находим: \[p = \frac{p_0 l}{H - l}.\] Подставляем это в уравнение (1): \[p_0 + \rho gH = \frac{p_0 l}{H - l} + \rho gl.\] Избавимся от знаменателя в правой части и перегруппируем: \[\rho g(H - l)^2 + p_0(H - l) - p_0 l = 0.\]
Обозначив для удобства \(p_0/g = l_0\), решаем квадратное уравнение, оставляя только имеющий физический смысл положительный корень: \[H = l + \frac{1}{2}\left(\sqrt{l_0^2 + 4l_0 l} - l_0\right).\]
Объём налитой воды можно определить по суммарной длине трубы, занятой водой: \[V = S(H + 3l - x) = 4Sl.\]
Пузыри в лимонаде
3/10Чтобы выдуть пузырь у дна стакана, давление в трубочке должно превысить атмосферное на гидростатическое давление столба лимонада; сила — перепад давлений на площадь сечения трубочки.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Бутылка с пробкой в море
3/10Пробка продавливается внутрь, когда внешнее давление на глубине (атмосфера плюс столб воды) превышает давление в бутылке на величину силы трения, делённой на площадь; найти глубину или силу трения (варианты 1–2).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Пробка в горлышке бутылки
3/10Пробка пролезает внутрь, когда давление снаружи на глубине больше давления в бутылке на отношение силы трения к площади сечения; из баланса сил на пробку определяют глубину либо силу трения (варианты 1–2).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Воздушные шарики
3/10Сила Архимеда в воздухе на гелиевые шары должна превосходить вес человека со стулом и гелия в шарах; из неравенства находится минимальное число шаров (варианты 1–2).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Давление насыщенного пара
3/10По таблице давления насыщенного пара с линейной интерполяцией находят температуру кипения при заданном внешнем давлении; столб воды в закрытой сверху трубке рвётся, когда давление наверху p0−ρgh падает до давления насыщенного пара, откуда максимальная высота столба (варианты 1–5).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Пробка в бутылке и холодеющая вода
4/10Объём воздуха в бутылке постоянен, и при остывании воды с глубиной его давление падает пропорционально температуре; пробка уходит внутрь, когда внешнее давление превысит внутреннее с запасом на трение, откуда глубина.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Песок на поршне
4/10Изотермические сжатие и расширение газа под поршнем: давление определяется массой поршня, песка и атмосферой; по объёмам найти долю убираемого песка.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Ртуть в Г-образной трубке
5/10Ртуть в Г-образной трубке, движущейся горизонтально с ускорением: давление в колене меняется линейно вдоль трубки, из условия начала выливания найти давление или высоту, затем длину вылившегося слоя. (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Ртуть в Г-образной трубке
5/10Ртуть в Г-образной трубке при горизонтальном ускорении: давление в закрытом колене линейно меняется вдоль него; из порога выливания находят неизвестную длину, давление или высоту, затем ускорение или вылившийся слой. (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Побег из башни подводной лодки
5/10В башне подлодки воздух сжимается вошедшей водой до равенства давления гидростатическому на уровне воды (закон Бойля — Мариотта, квадратное уравнение на толщину слоя); найти толщину слоя воздуха и силу на потолочный люк.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Крупа в шприце
5/10Воздух в шприце с крупой изотермически сжимают столбом воды в трубке; по зависимости объёма от давления определяют атмосферное давление и пустотность крупы, предварительно измерив сечение трубки с погрешностью.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Крупа в шприце
5/10Изотермическое сжатие воздуха в шприце с крупой водяным столбом позволяет найти атмосферное давление и долю воздуха между зёрнами; сечение трубки измеряется отдельно с оценкой погрешности.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Сосуд Мариотта
6/10Герметичный сосуд с вертикальной трубкой, через которую входят пузырьки воздуха при вытекании воды с постоянным расходом; по уравнению состояния найти массу воздуха над водой и скорость её изменения в начале и далее (давление над водой устанавливается равным p0 на уровне конца трубки).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Сосуд Мариотта
6/10Давление воды на уровне нижнего конца трубки равно атмосферному, поэтому скорость истечения постоянна, v = √(2gH2), пока конец трубки в воде, а затем обычная формула Торричелли √(2gh).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.