Ящик с двумя клеммами

Ящик, амперметр, сопротивление и источник включены последовательно. Найдите напряжение на самом ящике при каждом токе: как оно зависит от тока?

Источник с ЭДС \(\mathcal{E}=10\) В, включённый согласно с внешним источником, и последовательно с ним резистор \(R=14\) Ом (всего \(\mathcal{E}\), \(R\) вместе с сопротивлением амперметра).

Что происходит. Все элементы соединены последовательно, ток в них один. Напряжение внешнего источника делится между сопротивлением \(r\) и ящиком. Зная ток и напряжение на ящике в двух опытах, найдём, как напряжение на нём зависит от тока. Амперметр считаем идеальным (его сопротивление, если оно есть, войдёт в \(R\) ящика).

Обозначения. \(U\) — напряжение на ящике между клеммами, \(I\) — ток в цепи.

1. Напряжение на ящике. Падение напряжения на \(r\) равно \(Ir\), остальное приходится на ящик: \[U=V-Ir.\] Первый опыт: \(U_1=5-1\cdot1=4\text{ В}\) при \(I_1=1\text{ А}\). Второй опыт: \(U_2=20-2\cdot1=18\text{ В}\) при \(I_2=2\text{ А}\).

2. Что это за ящик. Напряжение выросло в \(4{,}5\) раза, а ток — в 2 раза: ящик не обычный резистор (\(U\) не пропорционально \(I\)). Проще всего устроен ящик, у которого \(U\) линейно зависит от тока: \[U=RI+U_0 .\] Две точки определяют прямую: \(R+U_0=4\), \(2R+U_0=18\), откуда \(R=14\text{ Ом}\), \(U_0=-10\text{ В}\).

Знак \(U_0<0\) означает, что при нулевом токе напряжение на ящике отрицательно: внутри действует источник с ЭДС \(\mathcal{E}=10\text{ В}\), и ток через ящик идёт в ту же сторону, что и ток внешнего источника (источники включены согласно). Ящик — это ЭДС \(10\text{ В}\) и резистор \(14\text{ Ом}\) последовательно.

3. Проверка тем же законом Ома для всей цепи. Полная ЭДС \(V+\mathcal{E}\), полное сопротивление \(r+R=15\text{ Ом}\): \[I=\frac{V+\mathcal{E}}{r+R}:\qquad I_1=\frac{5+10}{15}=1\text{ А},\qquad I_2=\frac{20+10}{15}=2\text{ А}.\] Обратите внимание: два измерения определяют ящик однозначно, только если он «линейный». Любой линейный набор резисторов и источников между двумя клеммами эквивалентен одному источнику и одному резистору последовательно, поэтому ответ именно такой. Нелинейные ящики (с реле, лампочками, диодами) тоже подходят под две точки, но «простое решение» — линейное.

Ответ. В ящике источник тока \(\mathcal{E}=10\text{ В}\) (включён согласно с внешним источником) и последовательно резистор \(R=14\text{ Ом}\).

Проверка. Размерность: \(Ir\), \(IR\), \(\mathcal{E}\) — вольты. Предел: если убрать источник из ящика (\(\mathcal{E}=0\)), получилось бы \(I_1=5/(1+R)\) и \(I_2=20/(1+R)\) — ток растёт ровно во столько же раз, во сколько напряжение, то есть в 4 раза, а не в 2: значит, в ящике обязательно есть собственный источник. График \(U(I)\) пересекает ось токов при \(I\approx0{,}71\text{ А}\): при таком токе ящик отдаёт столько, сколько сам вырабатывает.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.