Муравей и муравейник

Скорость муравья меняется со временем не по линейному закону. Поэтому средняя скорость на разных участках пути различна, и пользоваться для решения известными формулами для средней скорости нельзя.

Разобьем путь муравья от точки \(A\) до точки \(B\) на малые участки, проходимые за малые промежутки времени \(\Delta t\). Тогда \(\Delta t = \Delta l/v_{\text{ср}}(\Delta l)\), где \(v_{\text{ср}}(\Delta l)\) — средняя скорость на данном отрезке \(\Delta l\). Эта формула подсказывает идею решения задачи: нарисуем зависимость величины \(1/v_{\text{ср}}(\Delta l)\) от \(l\) на пути от точки \(A\) до точки \(B\). Этот график — отрезок прямой (см. рисунок); заштрихованная на рисунке площадь \(S\) под этим отрезком численно равна искомому времени.

Вычислим ее: \[S = \dfrac{1/v_1 + 1/v_2}{2}(l_2 - l_1) = \left(\dfrac{1}{2v_1} + \dfrac{1}{2v_1}\dfrac{l_2}{l_1}\right)(l_2 - l_1) = \dfrac{l_2^2 - l_1^2}{2v_1l_1}\] (так как \(1/v_2 = (1/v_1)\,l_2/l_1\)). Таким образом, муравей добежит от точки \(A\) до точки \(B\) за время \[t = \dfrac{4\text{ м}^2 - 1\text{ м}^2}{2\cdot 2\text{ м/с}\cdot 10^{-2}\cdot 1\text{ м}} = 75\text{ с}.\]