Красная Шапочка ускоряет шаг

Кратчайший путь к станции — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами, равными пройденным путям. Время обратного пути — сумма геометрической прогрессии с первым членом 1 с и знаменателем \(0{,}999\).

Поскольку Красная Шапочка движется по кратчайшему пути, весь её маршрут представляет собой прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора: \[(vt_1)^2 + (vt_2)^2 = (vt_3)^2 \;\Rightarrow\; t_1^2 + t_2^2 = t_3^2.\] Получаем \(t_3 = \sqrt{t_1^2 + t_2^2} = 17\) мин, тогда Красной Шапочке необходимо сделать \(n = 17\cdot 60 = 1020\) шагов. Поскольку на каждый последующий шаг, начиная со второго, она тратит на десятую долю процента меньше, время обратного пути можно представить как геометрическую прогрессию со знаменателем \(q = 1 - 0{,}001 = 0{,}999\): \[t = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}.\] Здесь \(b_1 = 1\) с — время, затраченное на первый шаг. Подставляя числа, получаем \(t \approx 10{,}6\) мин. Это означает, что Красная Шапочка не успеет на электричку к бабушке.