Два источника заменяют одним

Запишите законы Кирхгофа для обеих ветвей с источниками и выразите ток через \(R\) в обоих случаях. Совпадение падений напряжения при любом \(R\) даёт два условия на \(\mathcal{E}\) и \(r\).

Запишем систему уравнений Кирхгофа для контуров, содержащих \(\mathcal{E}_{1,2}\), \(r_{1,2}\), обозначив ток через резистор \(R\) как \(I\) и выбрав направление циркуляции токов, одинаковое для всех таких контуров: \[\begin{cases} \mathcal{E}_1 = I_1r_1 + IR,\\ \mathcal{E}_2 = I_2r_2 + IR,\\ I = I_1 + I_2. \end{cases}\] Из этих уравнений можно выразить ток через резистор \(R\): \[I = \frac{\mathcal{E}_1 - I_1R}{r_1} + \frac{\mathcal{E}_2 - I_2R}{r_2},\] откуда \[I = \frac{\dfrac{\mathcal{E}_1}{r_1} + \dfrac{\mathcal{E}_2}{r_2}}{1 + R\left(\dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2}\right)}.\] С другой стороны, ток через резистор \(R\) на схеме 2 определяется выражением \(I = \dfrac{\mathcal{E}}{r + R}\).

Так как падения напряжений на резисторе \(R\) должны совпадать для любых значений сопротивления \(R\), можно записать тождество, верное для всех \(R\): \[\frac{\dfrac{\mathcal{E}_1}{r_1} + \dfrac{\mathcal{E}_2}{r_2}}{1 + R\left(\dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2}\right)} = \frac{\mathcal{E}}{r + R}.\] Так как это тождество верно при всех значениях \(R\), требуется приравнять нулю независимо свободный член и множитель перед \(R\): \[\begin{cases} \dfrac{\mathcal{E}_1}{r_1} + \dfrac{\mathcal{E}_2}{r_2} - \mathcal{E}\left(\dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2}\right) = 0,\\[2mm] r\left(\dfrac{\mathcal{E}_1}{r_1} + \dfrac{\mathcal{E}_2}{r_2}\right) - \mathcal{E} = 0. \end{cases}\] Отсюда \[\mathcal{E} = \frac{\dfrac{\mathcal{E}_1}{r_1} + \dfrac{\mathcal{E}_2}{r_2}}{\dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2}}, \qquad r = \frac{1}{\dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2}}.\] Подставляя числа, получаем \(\mathcal{E} = 8\) В и \(r = \dfrac{10}{7}\) Ом.