Батарейки

На рис. 161 изображена схема цепи с последовательным соединением элементов.

Запишем для неё закон Ома: \[I = \dfrac{\mathcal{E}_1 + n\mathcal{E}_2}{R + r_1 + nr_2},\qquad (220)\] где \(I\) — ток нагрузки. При \(n = 0\) из формулы (220) получим \[I = \dfrac{\mathcal{E}_1}{R + r_1}.\qquad (221)\] При очень больших \(n\) из формулы (220) следует, что \[I = \dfrac{n\mathcal{E}_2}{nr_2} = \dfrac{\mathcal{E}_2}{r_2}.\qquad (222)\] Поскольку ток нагрузки по условию не зависит от \(n\), из формул (221) и (222) получаем \[\dfrac{\mathcal{E}_1}{R + r_1} = \dfrac{\mathcal{E}_2}{r_2},\quad\text{или}\quad R + r_1 = 2r_2.\qquad (223)\] Рассмотрим теперь цепь с параллельным соединением батареек, схема которой изображена на рис. 162.

Она эквивалентна цепи, изображённой на рис. 163, где \(I_{eq}\) — ток в эквивалентном источнике \(\mathcal{E}_2\), а \(r_{eq} = r_2/n\) — его внутреннее сопротивление.

В этом можно убедиться, применив правила Кирхгофа для контура, состоящего из нагрузки \(R\) и одной из батареек \(\mathcal{E}_2\): \[I\left(R + \dfrac{r}{n}\right) = \mathcal{E}_2,\quad\text{или}\quad I(R + r_{eq}) = \mathcal{E}_{eq}.\] По первому правилу Кирхгофа \[I_{eq} = I - I_1.\] По второму правилу Кирхгофа для внешнего контура схемы, показанной на рис. 163, получаем \[\mathcal{E}_1 = I_1r_1 + IR,\] откуда \[I_1 = \dfrac{\mathcal{E}_1 - IR}{r_1}.\] При \(n = 0\) имеем \(I_{eq} = 0\), и тогда \[I = I_1 = \dfrac{\mathcal{E}_1}{R + r_1}.\qquad (224)\] В случае бесконечного числа \(n\) батареек \(\mathcal{E}_2\) сопротивление \(r_{eq}\) равно нулю, а ток нагрузки принимает прежнее значение \(I\). Поэтому второе правило Кирхгофа для контура \(\mathcal{E}_2\)–\(R\) приводит к соотношению \[I = \dfrac{\mathcal{E}_2}{R}.\] Из последнего уравнения и уравнения (224) найдём \[\dfrac{\mathcal{E}_1}{R + r_1} = \dfrac{\mathcal{E}_2}{R},\quad\text{или}\quad R + r_1 = 2R.\qquad (225)\] Из формул (223) и (225) следует ответ: \(R = r_1\) и \(r_2 = r_1\).

При решении данной задачи использован полезный метод эквивалентных схем. Группу соединённых друг с другом источников тока можно заменить одним эквивалентным источником. На практике используют батареи элементов. При последовательном соединении источников одинаковой полярности ЭДС и внутреннее сопротивление эквивалентного источника равны сумме соответствующих величин для составляющих элементов. Параллельно соединяют одинаковые источники. Эквивалентная ЭДС в этом случае равна ЭДС отдельных элементов, зато внутреннее сопротивление эквивалентного источника меньше сопротивления одного элемента. При соединении \(n\) элементов внутреннее сопротивление полученной батареи в \(n\) раз меньше сопротивления отдельного элемента.