Верёвка

Верёвка движется равномерно. Следовательно, сумма сил, приложенных к ней, а также к её части, равна нулю. К верёвке приложены следующие силы (рис. 104): \(\vec T_0\) — сила, удерживающая верхний конец верёвки на одной высоте; \(\rho\vec g l_1\) и \(\rho\vec g l_2\) — силы тяжести её двух частей; \(\vec N\) — сила нормальной реакции со стороны горизонтальной поверхности; \(\vec F_{\text{тр}}\) — сила трения этой поверхности.

Запишем условие равновесия для части верёвки, висящей в воздухе: \[\vec T_0 + \rho\vec g l_2 + \vec T(0) = 0,\] где \(\vec T(0)\) — сила, действующая со стороны части верёвки, лежащей на поверхности. Из этого условия получим \[T_0 = \sqrt{(\rho g l_2)^2 + (T(0))^2}.\qquad (110)\] Чтобы найти \(T(0)\), запишем условие равновесия малого элемента верёвки длиной \(dl\) (рис. 105):

\[T + dT = T + \rho g\,dl\sin\alpha.\] Отсюда следует, что \[dT = \rho g\,dh,\] то есть для силы натяжения \(T(h)\) в точке верёвки, находящейся на высоте \(h\) над поверхностью, имеем \[T_0 - T(h) = \rho g(H - h).\] Отсюда получаем значение силы натяжения в самой нижней точке той части верёвки, которая не соприкасается с поверхностью: \[T(0) = T_0 - \rho g H.\qquad (111)\] Такая же по модулю сила в соответствии с третьим законом Ньютона действует и на горизонтальную часть верёвки. Условия равновесия этой части имеют вид \[\rho g l_1 = N,\qquad T(0) = F_{\text{тр}} = kN = k\rho g l_1.\qquad (112)\] Из системы уравнений (110), (111) и (112) получим ответ: \[l_2 = \sqrt{H(H + 2kl_1)}.\] Проанализируем полученный результат в предельном случае \(k \to 0\). Видим, что \(l_2 \to H\), то есть при малом трении не лежащая на поверхности часть верёвки располагается почти вертикально, что вполне соответствует интуитивно ожидаемому результату.