Колебания в цепи с диодами

Будем рассматривать процесс поэтапно, вычисляя промежутки времени с помощью формулы Томсона \(T = 2\pi\sqrt{LC}\) для периода колебаний \(T\) в контуре, содержащем катушку индуктивностью \(L\) и конденсатор ёмкостью \(C\). Заранее введём обозначение \(L_0 = L_1L_2/(L_1 + L_2)\) для индуктивности параллельно соединённых катушек.

1. Первый этап. Сразу после замыкания ключа (рис. 166) конденсатор \(C_2\) начинает разряжаться через параллельно соединённые катушки \(L_1\) и \(L_2\) без участия конденсатора \(C_1\), так как на этом этапе диод \(D_2\) открыт, а \(D_1\) — закрыт. Указанный первый этап завершается в момент полной разрядки конденсатора \(C_2\), то есть через время \(\tau_1\), равное четверти периода \(T_1\) колебаний в контуре, содержащем катушку индуктивностью \(L_0\) и конденсатор ёмкостью \(C_2\): \[\tau_1 = \dfrac{T_1}{4} = \dfrac{\pi}{2}\sqrt{L_0C_2} = \dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{L_1L_2}{L_1 + L_2}\cdot C_2}.\]

2. Второй этап. Сразу после полной разрядки конденсатора \(C_2\) (рис. 167) параллельно соединённые катушки начинают заряжать параллельно соединённые конденсаторы, так как на этом этапе оба диода открыты. Указанный второй этап завершается в момент прекращения тока в цепи, то есть через время \(\tau_2\), равное четверти периода \(T_2\) колебаний в контуре, содержащем катушку индуктивностью \(L_0\) и конденсатор ёмкостью \(C_1 + C_2\): \[\tau_2 = \dfrac{T_2}{4} = \dfrac{\pi}{2}\sqrt{L_0(C_1 + C_2)} = \dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{L_1L_2}{L_1 + L_2}\cdot(C_1 + C_2)}.\] В конце второго этапа (рис. 168) ток через ключ не течёт в первый раз после его замыкания, поэтому для определения искомого напряжения \(U_1\) применим закон сохранения энергии в течение первых двух этапов: \[\dfrac{C_2U_0^2}{2} = \dfrac{(C_1 + C_2)U_1^2}{2},\] откуда \[U_1 = U_0\sqrt{\dfrac{C_2}{C_1 + C_2}}.\] В дальнейшем из-за наличия диода \(D_1\) напряжение на конденсаторе \(C_1\) не может стать меньше \(U_1\), значит, по закону сохранения энергии напряжение на конденсаторе \(C_2\) не может стать больше \(U_1\), следовательно, с этого момента диод \(D_1\) будет всё время закрыт, а заряд на конденсаторе \(C_1\) не изменится.

3. Третий этап. Сразу после прекращения тока в цепи (рис. 168) конденсатор \(C_2\) начинает разряжаться через катушку \(L_1\) без участия конденсатора \(C_1\) и катушки \(L_2\), так как на этом этапе оба диода закрыты. Указанный третий этап завершается в момент полной разрядки конденсатора \(C_2\), то есть через время \(\tau_3\), равное четверти периода \(T_3\) колебаний в контуре, содержащем катушку индуктивностью \(L_1\) и конденсатор ёмкостью \(C_2\): \[\tau_3 = \dfrac{T_3}{4} = \dfrac{\pi}{2}\sqrt{L_1C_2}.\] Для определения искомого напряжения \(U_2\) потребуется сила тока \(I_1\) в конце третьего этапа (рис. 169), поэтому найдём её сейчас, применив закон сохранения энергии в течение данного этапа: \[\dfrac{C_2U_1^2}{2} = \dfrac{L_1I_1^2}{2},\qquad\text{откуда}\qquad I_1 = U_1\sqrt{\dfrac{C_2}{L_1}} = \dfrac{C_2U_0}{\sqrt{L_1(C_1 + C_2)}}.\qquad (230)\]

4. Граничный момент. Сразу после полной разрядки конденсатора \(C_2\) (рис. 169) начинаются его перезарядка и перераспределение токов в катушках без участия конденсатора \(C_1\), так как теперь диод \(D_2\) открыт, а \(D_1\) по-прежнему закрыт. Мысленно заменим диод \(D_2\) на проводник, тогда в ходе дальнейших колебаний сила тока в каждой катушке будет изменяться по синусоидальному закону, причём граничных значений она будет достигать в моменты полной разрядки конденсатора \(C_2\). В один из этих моментов ток в катушке \(L_2\) отсутствует (рис. 169), а в другой — направлен вниз на той же схеме, значит, и ни в какой иной момент времени ток не идёт вверх на схеме, то есть против направления пропускания диода \(D_2\), который был мысленно заменён на проводник. Это означает, что диод \(D_2\) больше не влияет на процессы в цепи. Поскольку последнее изменение состояния диодов произошло в конце третьего этапа, искомая длительность переходного процесса составляет \[\tau = \tau_1 + \tau_2 + \tau_3 = \dfrac{\pi}{2}\left(\sqrt{\dfrac{L_1L_2C_2}{L_1 + L_2}} + \sqrt{\dfrac{L_1L_2(C_1 + C_2)}{L_1 + L_2}} + \sqrt{L_1C_2}\right).\] Описанные в этом пункте колебания происходят уже после завершения переходного процесса, то есть в установившемся режиме, а их период составляет \[T = T_1 = \dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{L_1L_2C_2}{L_1 + L_2}}.\]

5. Установившийся режим. В момент завершения переходного процесса (рис. 169) сила тока \(I_1\) через катушку \(L_1\) даётся формулой (230), а ток через катушку \(L_2\) отсутствует, то есть \(I_2 = 0\). Параллельно соединённые катушки (диод \(D_2\) открыт) можно заменить на одну катушку индуктивностью \(L_0\), через которую в данный момент течёт ток силой \(I = I_1 + I_2\). Дальнейшие колебания происходят в контуре, содержащем эквивалентную катушку и конденсатор \(C_2\).

Когда ток через ключ не течёт во второй раз после его замыкания, тока нет и через эквивалентную катушку, но в реальных катушках остаётся кольцевой ток (рис. 170), силу \(I_0\) которого можно при желании найти из закона сохранения магнитного потока или из второго правила Кирхгофа. Однако мы не будем искать эту интересную саму по себе величину \(I_0\), а просто применим закон сохранения энергии для колебаний в эквивалентном контуре: \[\dfrac{L_0I^2}{2} = \dfrac{C_2U_2^2}{2},\qquad\text{откуда}\qquad U_2 = I\sqrt{\dfrac{L_0}{C_2}} = U_0\sqrt{\dfrac{C_2}{C_1 + C_2}}\sqrt{\dfrac{L_2}{L_1 + L_2}}.\] После завершения переходного процесса амплитудное напряжение \(A\) на конденсаторе \(C_2\) достигается, когда через эквивалентную катушку не течёт ток. На основе предыдущих рассуждений сразу получаем \[A = U_2 = U_0\sqrt{\dfrac{C_2}{C_1 + C_2}}\sqrt{\dfrac{L_2}{L_1 + L_2}}.\] Итоговый качественный график зависимости \(U(t)\) показан на рис. 171.