Электромагнитные колебания, колебательный контур

В идеальном контуре полная энергия сохраняется; в момент максимального тока весь запас энергии находится в катушке.

\(12\) мА.

Напряжения на параллельных катушках одинаковы, поэтому токи в них связаны постоянным отношением. Когда энергия катушек максимальна, что происходит с конденсатором?

Максимальная энергия катушки индуктивностью \(L\) в процессе возникающих колебаний равна \(2W/3\).

Полная энергия контура сохраняется: она складывается из энергии конденсатора и катушки.

\(3\) В

Контур совершает гармонические колебания, заряд меняется по закону \(q = q_0\cos\omega t\). При малых временах косинус можно разложить в ряд.

A) 0{,}1%;  B) 37%.

Заряд конденсатора меняется по гармоническому закону; найдите фазу в момент \(T/6\).

\(1{,}2\) мкКл

Напряжение на катушке равно разности напряжений на конденсаторах, а их сумма сохраняется (закон сохранения заряда). Запишите ещё и закон сохранения энергии с заданным условием.

\(\left|\dfrac{di}{dt}\right| = \dfrac{U_0}{\sqrt{3}\,L} = 100\) А/с.

По закону сохранения заряда после замыкания ключа \(U_0 = U_1 + U_2\), при этом \(-L\dfrac{di}{dt} = U_1 - U_2\).

Закон сохранения энергии, с учетом условия, имеет вид: \[\frac{C U_0^2}{2} = \frac{3}{2}\left(\frac{C U_1^2}{2} + \frac{C U_2^2}{2}\right).\] Решая систему, получим \(U_1 = \dfrac{3 \pm \sqrt{3}}{6}U_0\) и \(U_2 = \dfrac{3 \mp \sqrt{3}}{6}U_0\), откуда \[\left|\frac{di}{dt}\right| = \frac{U_0}{\sqrt{3}\,L} = 100 \text{ А/с}.\]

Закон сохранения энергии для тела: изменение \(CT\) определяется теплом \(\alpha TI\), уходящим в элемент. Вторая связь — правило Кирхгофа для контура с катушкой: \(L\dot I = \mathcal{E} - IR\).

1) \(LC\ddot I + \alpha^2 T_r I + \alpha L \dot I I = 0\);   \(\omega_0 = \sqrt{\dfrac{\alpha^2 T_0}{CL}}\);   \(T(t) = (T_0 - T_r)\cos\omega_0 t + T_r\).
2) \(LC\ddot I + (RC + kL)\dot I + (kR + \alpha^2 T_r) I + \alpha L \dot I I + \alpha\dfrac{I^2 R}{2} = 0\);   \(\gamma = \dfrac{R}{2L} + \dfrac{k}{2C}\),   \(\omega = \sqrt{\dfrac{kR}{LC} + \dfrac{\alpha^2 T_r}{LC}}\);   \(\dfrac{\Delta I_{\max}}{I_{\max}} = 2\pi\dfrac{\gamma}{\omega^2}\).
3) Следует поставить эксперимент, в котором можно было бы измерить частоту \(\omega\). Возможная схема эксперимента: в цепь включают генератор, а осциллограф подключают к катушке, измеряют резонансную частоту.

Вращающийся диск — источник ЭДС индукции \(\omega BR^2/2\), а ток через диск создаёт момент сил Ампера. Сравнив закон Кирхгофа с законом сохранения энергии (или записав уравнение вращения), получите, что \(\omega\) пропорциональна заряду конденсатора. Тогда для \(\omega\) выходит уравнение гармонических колебаний.

\(\omega_\text{max} = \dfrac{4BC\mathcal{E}}{4m + B^2R^2C}\);  \(\tau = \pi\Big/\sqrt{\dfrac{1}{LC} + \dfrac{B^2R^2}{4mL}}\).

Пусть диск вращается с угловой скоростью \(\omega\) в направлении против часовой стрелки. У носителей зарядов, находящихся на расстоянии \(r\) от оси диска, появляется коллективная скорость \(\omega r\), перпендикулярная оси диска, и, соответственно, появляется одинаковая (не зануляющаяся при суммировании по всем носителям) составляющая силы Лоренца, которая вызовет перераспределение носителей по радиусу до стационарного состояния, в котором разность потенциалов в точках, находящихся на расстояниях \(r\) и \(r + \mathrm{d}r\) от оси диска, равна \(\mathrm{d}\varphi = \omega B\,r\,\mathrm{d}r\).

Таким образом, присутствие магнитного поля вызовет появление во вращающемся диске ЭДС индукции, равной: \[\mathcal{E}_\text{инд} = \omega B\int_0^R r\,\mathrm{d}r = \frac{\omega BR^2}{2}, \tag{1}\] по знаку противоположной ЭДС источника.

Запишем второй закон Кирхгофа для контура электрической цепи: \[\mathcal{E} + \mathcal{E}_\text{инд} = \mathcal{E} - \frac{\omega BR^2}{2} = L\ddot q + \frac{q}{C}, \tag{2}\] где \(q\) — заряд конденсатора.

Далее запишем закон изменения энергии в электрической цепи, учитывая, что магнитное поле не совершает работы: \[A_\text{ист} = \mathcal{E}\cdot\Delta q = \Delta W_C + \Delta W_L + \Delta E_k,\] где \(W_C\) и \(W_L\) — энергия конденсатора и катушки индуктивности соответственно, а \(E_k\) — кинетическая энергия вращения обода. Приведём выражения для них: \[W_C = \frac{q^2}{2C} \qquad W_L = \frac{L\dot q^2}{2} \qquad E_k = \frac{mR^2\omega^2}{2}.\] Дифференцируя по времени закон сохранения энергии, получим: \[\mathcal{E}\dot q = \frac{q\dot q}{C} + L\dot q\ddot q + mR^2\omega\dot\omega. \tag{3}\] Умножая уравнение (2) на \(\dot q\) и вычитая из него уравнение (3), получим следующее соотношение между \(\dot\omega\) и \(\dot q\): \[\frac{BR^2\dot q}{2} = mR^2\dot\omega \;\Rightarrow\; \omega = \frac{qB}{2m}. \tag{4}\] В последнем переходе мы воспользовались начальными условиями: \[\omega(0) = 0 \qquad q(0) = 0.\]

Примечание: Связь \(\omega\) и \(q\) может быть получена из уравнения динамики вращательного движения диска относительно точки \(O\). Действительно: \[\frac{\mathrm{d}\vec L_O}{\mathrm{d}t} = mR^2\cdot\frac{\mathrm{d}\vec\omega}{\mathrm{d}t} = \vec M_O.\] Определим момент силы Ампера, действующей на возникающий в диске электрический ток: \[\mathrm{d}\vec M_O = \mathrm{d}I\,\bigl[\vec r\times[\mathrm{d}\vec r\times\vec B]\bigr] = -\mathrm{d}I\cdot r\,\mathrm{d}r\,\vec B,\] где \(r\) — расстояние до точки \(O\). Поскольку через круг любого радиуса с центром в точке \(O\) протекает ток силой \(I\) — для момента \(\vec M_O\) получим: \[\vec M_O = I\vec B\int_R^0 r\,\mathrm{d}r = \frac{IR^2\vec B}{2} = \frac{R^2\vec B}{2}\cdot\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}.\]

Таким образом: \[mR^2\cdot\frac{\mathrm{d}\vec\omega}{\mathrm{d}t} = \frac{R^2\vec B}{2}\cdot\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} \;\Rightarrow\; \vec\omega = \frac{q\vec B}{2m}.\] Таким образом, возможны три комбинации двух физических законов, приводящие к решению задачи: 1) закон электромагнитной индукции и закон сохранения энергии; 2) уравнение динамики вращательного движения и закон электромагнитной индукции; 3) уравнение динамики вращательного движения и закон сохранения энергии.

Для определения максимальной угловой скорости заметим, что она достигается в момент, когда сила тока в цепи оказывается равной нулю. Тогда из закона изменения энергии имеем: \[\mathcal{E}q = \frac{q^2}{2C} + \frac{mR^2\omega_\text{max}^2}{2} \;\Rightarrow\; \frac{2m\omega_\text{max}\mathcal{E}}{B} = \frac{\omega_\text{max}^2}{2}\left(\frac{4m^2}{B^2C} + mR^2\right),\] откуда: \[\omega_\text{max} = \frac{4BC\mathcal{E}}{4m + B^2R^2C}.\] Комбинируя уравнения (2) и (4), получим: \[\mathcal{E} = \ddot\omega\cdot\frac{2mL}{B} + \omega\cdot\left(\frac{BR^2}{2} + \frac{2m}{BC}\right). \tag{5}\] Вводя переменную \(\omega' = \omega - 2BC\mathcal{E}/(4m + B^2R^2C)\), получим уравнение гармонических колебаний: \[\ddot\omega' = -\omega'\left(\frac{1}{LC} + \frac{B^2R^2}{4mL}\right) = -\Omega_0^2\omega' \quad \left[\Omega_0 = \sqrt{\frac{1}{LC} + \frac{B^2R^2}{4mL}}\right] \;\Rightarrow\; \omega'(t) = A\cos(\Omega_0t + \varphi_0).\] Определим \(A\) и \(\varphi_0\) из начальных условий: \[\begin{cases} \omega(0) = \dfrac{2BC\mathcal{E}}{4m + B^2R^2C} + A\cos\varphi_0 = 0\\ \dot\omega(0) = -\Omega_0A\sin\varphi_0 = 0 \end{cases} \;\Rightarrow\; \varphi_0 = \pi;\ A = \frac{2BC\mathcal{E}}{4m + B^2R^2C}.\] Окончательно для \(\omega(t)\) имеем: \[\omega(t) = \frac{2BC\mathcal{E}}{4m + B^2R^2C}\left(1 - \cos\left(\sqrt{\frac{1}{LC} + \frac{B^2R^2}{4mL}}\,t\right)\right). \tag{6}\] Угловая скорость впервые достигает значения \(\omega_\text{max}\), когда \(\cos\Omega_0\tau = -1\), т. е. при \(\omega_0\tau = \pi\). Тогда для \(\tau\) находим:

\[\tau = \frac{\pi}{\sqrt{\dfrac{1}{LC} + \dfrac{B^2R^2}{4mL}}}.\]

Пока ключ замкнут, конденсатор заряжен до \(\mathcal{E}\), а ток катушки растёт линейно. После размыкания, пока диод открыт, напряжение на конденсаторе постоянно и равно \(U_0\).

\(\dfrac{\mathcal{E}}{U_0} = \dfrac{nt_0^2 + \sqrt{n^2t_0^4 + 4LC(LC+t_0^2)}}{2(LC+t_0^2)}\).

Прибор меряет только модуль импеданса \(|Z|\) и пересчитывает его в «индуктивность» \(|Z|/\omega\) или «емкость» \(1/(\omega|Z|)\) — значит, произведение показаний в двух режимах от измеряемой цепи не зависит. Модуль раскрывайте аккуратно: подходят оба знака.

1) \(C_2 = C_1L_1/L_2 \approx 0{,}83\) мкФ;  2) \(L = \dfrac{\sqrt{L_1^2 + 4L_1L_2} \pm L_1}{2}\), \(C = \dfrac{C_1}{2L_2}\left(\sqrt{L_1^2 + 4L_1L_2} \pm L_1\right)\): \(L = 15{,}0\) мГн, \(C = 2{,}00\) мкФ или \(L = 8{,}80\) мГн, \(C = 1{,}17\) мкФ;  3) \(f > \dfrac{R}{2\pi L\sqrt{2\delta}} = 1780\) Гц;  4) при малых частотах \(L_{\exp} \approx 1/((2\pi f)^2C)\), при больших \(L_{\exp} \to L\), минимум \(L_0 = R\sqrt{CL - R^2C^2/4} = 0{,}50\) мГн при \(f_0 = 1590\) Гц.

Отношение измеренных амплитуд напряжения и тока равно модулю импеданса \(|Z|\) устройства, подключенного к выводам \(RLC\)-метра. Используя известные формулы для импедансов индуктивности \(Z_L = i\omega L\) и емкости \(Z_C = -i/\omega C\) (где \(\omega\) — циклическая частота, на которой проводятся измерения), можно определить измеренные прибором значения индуктивности и емкости. Из формул для последовательного соединения импедансов получим в первом случае \[\left|\omega L - \frac{1}{\omega C}\right| = \omega L_1 = \frac{1}{\omega C_1}. \tag{1}\] Во втором случае используем формулу для импеданса параллельного соединения \[\frac{L/C}{\left|\omega L - \frac{1}{\omega C}\right|} = \omega L_2 = \frac{1}{\omega C_2}. \tag{2}\] Какое бы устройство не подключалось к выводам, показания прибора в режимах измерения индуктивности и емкости связаны соотношением \(|Z| = \omega L_1 = 1/\omega C_1\), то есть \(L_1C_1 = 1/\omega^2\). Таким образом, \(L_1C_1 = L_2C_2\), откуда \[C_2 = \frac{L_1C_1}{L_2}, \qquad C_2 = C_1\frac{L_1}{L_2} \approx 0{,}83\text{ мкФ}.\] Знаменатель в уравнении (2) для параллельного соединения совпадает с импедансом для последовательного соединения, поэтому \[\frac{L}{C\cdot\omega L_1} = \omega L_2.\] Подставляя в это соотношение значение \(\omega^2 = 1/L_1C_1\), найдём \[\frac{L}{C} = \frac{L_2}{C_1}.\] Выражая отсюда \(C_1\) и подставляя в уравнение (1), получим \[\left|L - \frac{1}{\omega^2C}\right| = \left|L - \frac{L_1L_2}{L}\right| = L_1.\] Отсюда \[|L^2 - L_1L_2| = L_1L,\] значит, \(L\) удовлетворяет одному из двух квадратных уравнений \[L^2 - L_1L_2 = \pm L_1L,\] откуда \[L^2 \mp L_1L - L_1L_2 = 0.\] Корни этих двух уравнений имеют вид \[L = \frac{\pm L_1 \pm \sqrt{L_1^2 + 4L_1L_2}}{2},\] где первый знак определяется знаком \(\pm\) в уравнении, а второй — выбранным корнем квадратного уравнения. При этом индуктивность должна быть положительной, поэтому перед квадратным корнем всегда нужно выбирать знак \(+\). Итого получаем, что возможны два значения индуктивности \[L = \frac{\sqrt{L_1^2 + 4L_1L_2} \pm L_1}{2},\] отвечающие двум разным способам раскрыть модуль. Отвечающие им значения емкости можно найти как \[C = L\frac{C_1}{L_2} = \frac{C_1}{2L_2}\left(\sqrt{L_1^2 + 4L_1L_2} \pm L_1\right) = \frac{2C_1L_1}{\sqrt{L_1^2 + 4L_1L_2} \mp L_1}.\] \[L = \frac{\sqrt{L_1^2 + 4L_1L_2} + L_1}{2} = 15{,}0\text{ мГн}; \qquad C = \frac{C_1}{2L_2}\left(\sqrt{L_1^2 + 4L_1L_2} + L_1\right) = 2{,}00\text{ мкФ},\] \[L = \frac{\sqrt{L_1^2 + 4L_1L_2} - L_1}{2} = 8{,}80\text{ мГн}; \qquad C = \frac{C_1}{2L_2}\left(\sqrt{L_1^2 + 4L_1L_2} - L_1\right) = 1{,}17\text{ мкФ}.\] Комплексный импеданс неидеальной катушки равен \[Z'_L = R + i\omega L,\] тогда измеренное значение индуктивности определяется из соотношения \[\omega L_{\exp} = \sqrt{R^2 + \omega^2L^2}, \qquad L_{\exp} = \sqrt{L^2 + \frac{R^2}{\omega^2}}.\] Видим, что это значение всегда больше значения индуктивности катушки, и в пределе больших частот стремится к ней. Тогда частота должна быть больше некоторой критической частоты, которую можно найти из условия, что \(L_{\exp} = L(1+\delta)\), где \(\delta\) — максимально допустимая погрешность: \[\sqrt{L^2 + \frac{R^2}{\omega^2}} < L(1+\delta),\] откуда с учётом малости \(\delta\) \[\frac{R^2}{\omega_c^2} = L^2\bigl((1+\delta)^2 - 1\bigr) \approx 2\delta L^2.\] Получаем критическое значение циклической частоты \[\omega_c = \frac{R}{L\sqrt{2\delta}},\] и критическое значение частоты \[f_c = \frac{R}{2\pi L\sqrt{2\delta}}, \qquad f > f_c = \frac{R}{2\pi L\sqrt{2\delta}} = 1780\text{ Гц}.\] Импеданс цепи равен \[Z = R + i\omega L - \frac{i}{\omega C}.\] Приравнивая его модуль к \(\omega L_1\), найдём измеренную индуктивность \(L_1\): \[\omega L_{\exp} = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2},\] отсюда \[L_{\exp} = \sqrt{\frac{R^2}{(2\pi f)^2} + \left(L - \frac{1}{(2\pi f)^2C}\right)^2}.\] Проанализируем полученное выражение. При больших частотах слагаемые с частотой в знаменателе стремятся к \(0\), поэтому измеренное значение индуктивности стремится к постоянной \(L_{\exp} \approx L\). При малых частотах наибольшее значение у слагаемого с наибольшей степенью частоты в знаменателе, поэтому \[L_{\exp} \approx \frac{1}{(2\pi f)^2C}.\] Покажем, что у подкоренного выражения есть минимум при промежуточном значении частоты. Для удобства введём вспомогательную переменную \(x = 1/(2\pi f)^2\) и рассмотрим функцию \[f(x) = xR^2 + \left(L - \frac{x}{C}\right)^2.\] Её производная обращается в \(0\) при \[R^2 + \frac{2}{C}\left(\frac{x}{C} - L\right) = 0,\] откуда \[x = LC - \frac{R^2C^2}{2} = LC\left(1 - \frac{R^2C}{2L}\right).\] Этому значению \(x\) отвечает значение частоты \[f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}\sqrt{1 - R^2C/2L}},\] которое существует при \(R^2C/2L < 1\). Это значение отвечает минимуму рассматриваемой функции, поскольку она представляет собой квадратичную зависимость с положительным коэффициентом перед \(x^2\). Соответствующее значение индуктивности в минимуме \[L_0 = R\sqrt{CL - \frac{R^2C^2}{4}}.\] Для чисел, приведённых в условии, \[f_0 = 1590\text{ Гц}, \qquad L_0 = 0{,}50\text{ мГн}.\]