Шайба в клетке, или треугольный бильярд

Соударение шайбы со стенкой происходит абсолютно упруго, поэтому из законов сохранения энергии и проекции импульса на направление стенки следует, что при ударе скорость шайбы не изменяется по модулю, а её угол отражения равен углу падения. Поскольку шайба ведёт себя подобно световому лучу, а стенка — зеркалу, воспользуемся оптическими методами и терминологией.

Построить изображение в оптической системе с зеркалом можно с помощью отражения всех элементов системы в область «зазеркалья» вместо обычного отражения реальных лучей в зеркале. В рамках этого метода становится возможным рассматривать прямые лучи, а не ломаные из-за отражений.

На рис. 103 показан исходный треугольник \(ABC\) и его многократные отражения относительно сторон. Изображения целевой вершины \(C\) выделены жирными точками, а траектории шайбы из точки \(D\) проведены тонкими линиями. Точки \(C_1\), \(C_2\), \(C_3\) и \(C_4\) — это все те изображения вершины \(C\), в которые шайба может попасть, испытав не более шести соударений со стенками. В этом легко убедиться, так как согласно используемому методу отражение шайбы от стенки выглядит как прохождение шайбы сквозь изображение стенки.

Поскольку на отрезке \(DC_4\) лежит точка \(A_0\), являющаяся изображением вершины \(A\), шайба прекратит движение до попадания в точку \(C_4\), которую исключаем из рассмотрения. Выберем начало системы координат в точке \(D\) и проведём оси \(x\) и \(y\) в направлении точек \(B\) и \(C\) соответственно, тогда координаты изображений целевой вершины в единицах \(l/2\) будут следующими: \[C_1\left(3;\,2\sqrt3\right),\qquad C_2\left(3;\,4\sqrt3\right),\qquad C_3\left(6;\,\sqrt3\right).\] Искомые углы найдём через эти координаты \(x\) и \(y\) по формуле \(\varphi = \operatorname{arctg}(y/x)\): \[\varphi_1 = \operatorname{arctg}\left(\dfrac{2\sqrt3}{3}\right) \approx 49{,}1^\circ,\quad \varphi_2 = \operatorname{arctg}\left(\dfrac{4\sqrt3}{3}\right) \approx 66{,}6^\circ,\quad \varphi_3 = \operatorname{arctg}\left(\dfrac{\sqrt3}{6}\right) \approx 16{,}1^\circ.\] Ближайшее к точке старта изображение целевой вершины — это точка \(C_1\), поэтому искомое минимальное время составляет \[t_{\min} = \dfrac{DC_1}{v} = \dfrac{l\sqrt{21}}{2v} \approx 2{,}3\cdot\dfrac{l}{v}.\]