Дискретная модель движения лавины

Решение

Как компактно описать множество последовательных столкновений нарастающей цепочки с очередным бруском? Поскольку все эти процессы аналогичны, рассмотрим один из них: столкновение цепочки уже слипшихся \(n\) брусков с очередным \((n+1)\)-м бруском. Обозначим скорость цепочки сразу после соударения с \(n\)-м бруском \(v_n\). Найдём скорость цепочки после столкновения с \((n+1)\)-м бруском \(v_{n+1}\). Для этого следует применить закон сохранения энергии цепочки при движении её к \((n+1)\)-му бруску и закон сохранения импульса при очередном столкновении. Получим \[v_{n+1}^2 = \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^2(v_n^2 + 2gL\sin\alpha).\qquad (113)\] Применяя это рекуррентное соотношение, при \(v_1 = 0\) получим \[\begin{aligned} v_2^2 &= \dfrac{2gL\sin\alpha}{2^2},\\ v_3^2 &= \dfrac{2gL\sin\alpha}{3^2}(1^2 + 2^2),\\ v_4^2 &= \dfrac{2gL\sin\alpha}{4^2}(1^2 + 2^2 + 3^2),\\ &\ \ \dots\\ v_{n+1}^2 &= \dfrac{2gL\sin\alpha}{(n+1)^2}(1^2 + 2^2 + \ldots + n^2).\qquad (114) \end{aligned}\] Как подсчитать входящую в формулу (114) сумму квадратов натуральных чисел? Для конкретных значений \(n\) можно воспользоваться компьютером, таблицами или формулой \[\sum_{1}^{n} n^2 = \dfrac16\,n(n+1)(2n+1).\] Можно при больших \(n\) эту сумму приближённо заменить интегралом: \[\sum_{1}^{n} n^2 \approx \int_0^n x^2\,dx = \dfrac{n^3}{3}.\qquad (115)\] В самом деле, приведём результаты вычислений:

С учётом формулы (115) выражение (114) упрощается: \[v_{n+1}^2 \approx \dfrac23\,gLn\sin\alpha.\qquad (116)\] Энергия «лавины» после \(n \gg 1\) столкновений с учётом формулы (116) составляет \[E_n \approx \dfrac13\,mgLn^2\sin\alpha.\qquad (117)\] Искомое в пункте 1 приращение энергии составляет \[\Delta E \approx \dfrac23\,mgLn\sin\alpha.\] Ответ в задании 2 следует из формулы (117): \[E_k - E_n \approx \dfrac13\,mgL(k^2 - n^2)\sin\alpha.\] В задании 3 требуется учесть силу трения. Тогда вместо формулы (113) получаем \[v_{n+1}^2 = \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^2(v_n^2 + 2gL\sin\alpha - 2\mu gL\cos\alpha),\qquad (118)\] где \(\mu\) — коэффициент трения. Его можно определить из условия равномерного скольжения по «лавиноопасному» склону: \[mg\sin\beta = \mu mg\cos\beta.\] Из последнего выражения следует, что \[\mu = \operatorname{tg}\beta.\] Формула (118) означает, что учёт трения сводится к замене в ответах предыдущих заданий величины \(g\) на \(g(1 - \operatorname{tg}\beta\operatorname{ctg}\alpha)\). Отсюда видно, что движение лавины возникает при \(\alpha \geqslant \beta\). Эта оправдывает использованные названия «лавиноопасных» угла и склона.

Таким образом, рассмотренная простая модель позволяет объяснить неожиданное возникновение лавины и быстрый рост её энергии (в формуле (5) \(E \sim n^2\)).