Поезд и горка

Потенциальная энергия поезда максимальна тогда, когда часть поезда полностью занимает оба склона горки (см. рис. 1.135). Поскольку, как видно из условия, для длин склонов и основания горки выполняется теорема Пифагора: \(l_1^2 + l_2^2 = l^2\), то угол при вершине горки — прямой (закруглениями мы пренебрегаем). Следовательно, высота горки \(h = l_1l_2/l\), а средняя высота подъёма части поезда, находящейся на горке, составляет \(h_{\text{ср}} = h/2 = l_1l_2/(2l)\). Поскольку масса указанной части поезда пропорциональна её длине, то можно найти потенциальную энергию поезда относительно подножия горки: \[U = M\cdot\dfrac{l_1 + l_2}{L}\cdot gh_{\text{ср}} = \dfrac{Mg(l_1 + l_2)l_1l_2}{2Ll},\] где \(M\) — масса всего поезда. Для того, чтобы поезд преодолел горку, его начальная кинетическая энергия \(W = Mv^2/2\) должна быть больше потенциальной энергии \(U\). Отсюда искомая минимальная скорость поезда \[v_{\min} = \sqrt{g\dfrac{(l_1 + l_2)l_1l_2}{Ll}} \approx 11{,}5\text{ м/с}.\]