Теплоёмкость в двух процессах

В процессе 1–2 по условию \(p \sim T\). Из уравнения Менделеева — Клапейрона следует, что \(V = RT/p = \text{const}\). Таким образом, процесс 1–2 является изохорным, и для одного моля идеального одноатомного газа теплоёмкость \(C_V = 3R/2\).

В процессе 2–3 по условию \(p \sim \sqrt T\). Поэтому \(V = RT/p \sim \sqrt T\), и таким образом, \(p \sim V\). Изобразив этот процесс на \(pV\)-диаграмме (см. рис. 2.53), заметим, что газ в нём поглощает тепло. Это тепло идёт на изменение внутренней энергии газа \(\Delta U\) и совершение им работы \(\Delta A\).

Обозначим давления и объёмы в состояниях 2 и 3 через \((p_2,\ V_2)\) и \((p_3,\ V_3)\), соответственно. Тогда количество теплоты \(\Delta Q\), которое поглощает газ в процессе 2–3, можно найти из первого начала термодинамики: \[\Delta Q = \Delta U + \Delta A = \dfrac{3}{2}R(T_3 - T_2) + \dfrac{1}{2}(p_3 + p_2)(V_3 - V_2) =\] \[= \dfrac{3}{2}R(T_3 - T_2) + \dfrac{1}{2}(RT_3 - RT_2 + p_2V_3 - p_3V_2).\] При преобразовании выражения в скобках учтено, что, в соответствии с уравнением Менделеева — Клапейрона, \(p_2V_2 = RT_2\) и \(p_3V_3 = RT_3\).

Поскольку изображающая процесс прямая проходит через начало координат диаграммы, то \(p_2/V_2 = p_3/V_3\). С учётом этого выражение для количества теплоты принимает вид: \(\Delta Q = 2R(T_3 - T_2)\). Таким образом, мы доказали, что количество теплоты, сообщённой газу в данном процессе, пропорционально разности температур, которые газ имеет в начальном и конечном состояниях, и коэффициент пропорциональности равен \(2R\). Следовательно, молярная теплоёмкость газа в процессе 2–3 постоянна и равна \(2R\).