Закономерность в таблице

Подсказка

Постройте столбец из произведений \(c\cdot A\). Что означает это произведение — теплоёмкость чего?

Ответ

Закон Дюлонга и Пти: \(cA\approx3R\approx25\text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}\). Магний: \(c\approx1{,}04\text{ Дж/(г}\cdot\text{К)}\); титан: \(c\approx0{,}52\text{ Дж/(г}\cdot\text{К)}\); железо: \(A\approx56\text{ г}\). Точность предсказаний около \(4\,\%\) (типичное отклонение \(2\)–\(3\,\%\), у висмута \(11\,\%\)).

Решение

Что происходит. В таблице есть два столбца данных, а искомая закономерность связывает их друг с другом. Атомная масса \(A\) в г/моль — масса моля вещества. Произведение \(cA\) — теплоёмкость одного моля, то есть молярная теплоёмкость. Для твёрдых тел молярная теплоёмкость при обычных температурах оказывается примерно одинаковой: нужно проверить это по данным таблицы и тогда пустые клеточки восстановятся из \(c=\text{const}/A\).

Обозначения. \(c\) — удельная теплоёмкость, \(A\) — число граммов в моле (численно атомная масса), \(C_\mu=cA\) — молярная теплоёмкость. Атомов в моле \(N_A\) у всех веществ одно и то же число.

1. Проверим гипотезу \(cA=\text{const}\). Перемножим числа из таблицы для всех десяти веществ, у которых известны обе величины:

Значения \(cA\) в \(\text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}\). Все они лежат около 25 Дж/(моль\(\cdot\)К), хотя \(c\) и \(A\) по отдельности отличаются в десятки раз (от \(0{,}128\) до \(3{,}52\) и от 7 до 209). Закономерность есть: молярная теплоёмкость твёрдых тел одинакова. Физический смысл — закон Дюлонга и Пти: каждый атом кристалла имеет три колебательные степени свободы, на каждую приходится энергия \(kT\) (кинетическая плюс потенциальная), и \[C_\mu=3N_Ak=3R=3\cdot8{,}31\approx24{,}9\text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}.\] Это число близко к среднему по таблице (25,2). На графике — значения \(cA\) для десяти веществ; серая полоса — отклонение \(\pm4\,\%\) от \(3R\).

2. Заполним клеточки. Из \(cA=3R\) следует \(c=3R/A\) и \(A=3R/c\): \[c_{\text{Mg}}=\frac{24{,}9}{24}\approx1{,}04\ \frac{\text{Дж}}{\text{г}\cdot\text{К}},\qquad c_{\text{Ti}}=\frac{24{,}9}{48}\approx0{,}52\ \frac{\text{Дж}}{\text{г}\cdot\text{К}},\qquad A_{\text{Fe}}=\frac{24{,}9}{0{,}447}\approx56\text{ г}.\] В логарифмических осях закон \(c=3R/A\) — прямая с наклоном \(-1\). Известные вещества (чёрные точки) лежат на ней, предсказанные значения отмечены светлыми кружками.

3. Точность. Оценим разброс по данным: отклонения \(cA\) от \(3R\) составляют (в процентах) у Ag \(+2{,}2\), Al \(-2{,}5\), Au \(+1{,}1\), Co \(-1{,}3\), Cu \(-1{,}7\), Li \(-1{,}2\), Ni \(+3{,}5\), Pt \(+3{,}0\), V \(-1{,}0\) и у Bi \(+10{,}7\). Среднее квадратичное отклонение — около \(4\,\%\); без висмута — около \(2\,\%\). Поэтому предсказания надо считать верными с точностью порядка \(4\,\%\) (у большинства веществ отклонения \(1\)–\(3\,\%\), у висмута \(11\,\%\)). Реальные значения \(c_{\text{Mg}}=1{,}02\), \(c_{\text{Ti}}=0{,}52\) и \(A_{\text{Fe}}=55{,}8\) укладываются в эту оценку.

Обратите внимание: закон \(cA=3R\) приближённый — он верен при комнатной температуре и не работает у лёгких веществ с жёсткой решёткой (бериллий, алмаз), у которых \(cA\) заметно меньше.

Проверка. Размерность: \(c\,[\text{Дж/(г}\cdot\text{К)}]\cdot A\,[\text{г/моль}]=\text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}\) — совпадает с размерностью \(R\). Предельный случай: для тяжёлых атомов (\(A\approx200\)) \(c\approx0{,}125\), для лёгких (\(A=7\)) \(c\approx3{,}6\), как у Au и Li в таблице. Для железа второй способ: взять среднее \(cA=25{,}2\) из таблицы, \(A=25{,}2/0{,}447=56{,}4\) — те же \(56\) г.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.